Add dima notes

school/di-ma/20181120_1-hamiltonkreise.md

@@ -127,6 +127,7 @@ $$
 
 Der Beweis liefert auch einen Algorithmus, um für solche Graphen effizient
 Hamiltonkreise zu finden.  
+
 **Idee**: Gegeben $G=(V,E)$. Starte mit beliebigen Hamiltonkreis
 $k=(v_1,...v_n)$ wobei nicht alle Kanten in $E$ liegen (kein Hamiltonkreis in
 $G$).

school/di-ma/20181121_1-doublenikolaus.dot

@@ -0,0 +1,21 @@
+graph g {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank="same";
+        2;
+        3;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        4;
+        5;
+    }
+
+    1 -- 2 -- 4 -- 6;
+    1 -- 3 -- 5 -- 6;
+    2 -- 3;
+    4 -- 5;
+    2 -- 5;
+    3 -- 4;
+}

school/di-ma/20181121_1-euler.dot

@@ -0,0 +1,15 @@
+graph g {
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank="same";
+        1;
+        3;
+        5;
+        6;
+    }
+
+    2 -- 1 -- 4;
+    2 -- 3 -- 4;
+    2 -- 5 -- 4;
+    2 -- 6 -- 4;
+}

school/di-ma/20181121_1-eulertouren.md

@@ -0,0 +1,110 @@
+---
+title: Eulertouren
+date: 2018-11-21
+---
+
+**Frage**: Gibt es einen Rundweg, auf dem man jede Brücke genau einmal
+überquert?
+
+Entspricht der Frage, ob es in dem Graph (der leider kein Graph in unserem
+Sinne ist) einen Weg gibt, der
+
+i) jede Kante enthält
+i) Start- und Endknoten gleich sind
+
+# Definition (Eulertour)
+
+Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph.
+
+i) Eine **Eulertour** in $G$ ist ein Weg, der jede Kante genau einmal
+durchläuft und bei dem Start- und Endknoten gleich sind
+
+i) Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt **eulersch**
+
+
+**Beispiel**:
+
+a) ![Eulerscher Graph](20181121_1-euler.png) ist eulersch, da
+$(1,4,3,2,6,4,5,2,1)$ eine Eulertour ist
+
+a) ![Haus vom Nikolaus](20181121_1-nikolaus.png) enthält zwar einen Weg, der
+    alle Kanten genau einmal besucht, aber **keine** Eulertour $\Rightarrow$ nicht
+    eulersch.
+
+    Warum nicht eulersch?
+
+    Betrachte Knoten $1$, $deg(1) = 3$
+
+    1) Falls $1$ Startknoten ist, dann kann $1$ nicht Endknoten sein, da es
+    keine nicht benutzte Kante mehr gibt, die zu $1$ hinführt, nachdem $1$
+    2-mal besucht wurde
+
+    2) Falls $1$ nicht Startknoten, dann endet die Tour entweder in $1$ oder
+    eine zu $1$ inzidente Kante wird nicht besucht
+
+    $\Rightarrow$ Falls $G$ eulesch gilt $2 | deg(v), \forall v \in V$
+
+    Diese Bedingung ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.
+
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph. Dann ist $G$ eulersch, genau dann,
+wenn $2 | deg(v), \forall v \in V$ ($deg(v)$ ist gerade).
+
+
+# Beweis
+
+"$\Rightarrow$" siehe oben
+
+"$\Leftarrow$" Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph mit $2 | deg(v),
+\forall v \in V$. Wir müssen zeigen, dass $G$ eine Eulertour enthält. Wir
+konstruieren diese wie folgt:
+
+* wähle einen beliebigen Knoten $v_0 \in V$ und setzen $W_0 = (v_0)$, $i
+  \leftarrow 0$
+
+* solange (es gibt noch eine Kante, die in $W_i$ nicht besucht wurde)
+
+    i) wähle Knoten $v_k \in W_i$, der zu einer Kante $\{v_k,u\}$ inzident ist,
+    die noch nicht besucht wurde
+
+    i) konstruiere einen Weg $W' = (v_k, u=u_0,u_1,...,u_s,v_k)$ aus Kanten,
+    die in $W_i$ noch nicht benutzt wurden und der wieder in $v_k$ endet
+
+    i) setze $W_{i+1}$ auf den aus $W_i$ und $W'$ zusammengesetzten Weg, d.h.
+    für $W_i = (v_0,...,v_0)$ setze $W_{i+1} =
+    (v_0,...,v_k,u_0,...,u_s,v_k,v_{k-1},...,v_0)$
+
+    i) setze $i \leftarrow i + 1$
+
+
+Der Algorithmus ist korrekt, denn
+
+i) bei Terminierung ist $W_i$ eine Eulertour
+
+i) Der Weg $W'$ kann immer konstruiert werden, da
+
+    a) Die Anzahl der besuchten Kanten in $W_i$ ist für jeden Knoten gerade. Da
+    $deg(v)$ gerade ist, ist auch die Anzahl der nicht besuchten Kanten pro
+    Knoten gerade
+
+    a) Daher können wir aus jedem besuchten Knoten in $W'$ weiterlaufen, bis
+    wir wieder in $v_k$ landen.
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+**Beispiel**: ![Doppelter Nikolaus](20181121_1-doublenikolaus.png)
+
+* starte mit $(1)$
+* dann $W' = (1,3,2,1)$, $W_1 = (1,3,2,1)$
+* dann $W' = (2,4,5,2)$, $W_2 = (1,3,2,4,5,2,1)$
+* dann $W' = (3,5,6,4,3)$
+
+$\Rightarrow$ $W_3 = (1,3,5,6,4,3,2,4,5,2,1)$ als Eulertour in $G$.
+
+
+**Laufzeit**: $O(|E|)$

school/di-ma/20181121_1-nikolaus.dot

@@ -0,0 +1,21 @@
+graph g {
+    node [ shape="circle" ];
+
+    {
+        rank="same";
+        4;
+        3;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        1;
+        2;
+    }
+
+    5 -- 4 -- 1;
+    5 -- 3 -- 2;
+    4 -- 3;
+    1 -- 2;
+    4 -- 2;
+    3 -- 1;
+}

school/di-ma/20181121_2-k23.dot

@@ -0,0 +1,21 @@
+graph k23 {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        1;
+        2;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        3;
+        4;
+        5;
+    }
+    1 -- 3;
+    1 -- 4;
+    1 -- 5;
+    2 -- 3;
+    2 -- 4;
+    2 -- 5;
+}

school/di-ma/20181121_2-k3.dot

@@ -0,0 +1,11 @@
+graph g {
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        2;
+        3;
+    }
+    1 -- 2;
+    1 -- 3;
+    2 -- 3;
+}

school/di-ma/20181121_2-k33.dot

@@ -0,0 +1,25 @@
+graph k33 {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        1;
+        2;
+        3;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        4;
+        5;
+        6;
+    }
+    1 -- 4;
+    1 -- 5;
+    1 -- 6;
+    2 -- 4;
+    2 -- 5;
+    2 -- 6;
+    3 -- 4;
+    3 -- 5;
+    3 -- 6;
+}

school/di-ma/20181121_2-k4.dot

@@ -0,0 +1,17 @@
+graph k4 {
+    splines=false;
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        3;
+        5 [ style="invis" ];
+        4;
+    }
+    1 -- 2;
+    1 -- 3;
+    1 -- 4;
+    2 -- 3;
+    2 -- 4;
+    3 -- 5;
+    5 -- 4;
+}

school/di-ma/20181121_2-k4_unterteilung.dot

@@ -0,0 +1,17 @@
+graph k4 {
+    splines=false;
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        3;
+        5;
+        4;
+    }
+    1 -- 6 -- 2;
+    1 -- 3;
+    1 -- 4;
+    2 -- 3;
+    2 -- 4;
+    3 -- 5;
+    5 -- 4;
+}

school/di-ma/20181121_2-k5.dot

@@ -0,0 +1,26 @@
+graph k5 {
+    splines=false;
+    node [ shape="point" ];
+    {
+        rank="same";
+        2;
+        6 [ style="invis" ];
+        3;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        4
+        5;
+    }
+
+    1 -- 2 -- 4;
+    1 -- 3 -- 5;
+    1 -- 4;
+    1 -- 5;
+    2 -- 6;
+    6 -- 3;
+    4 -- 5;
+    2 -- 5;
+    3 -- 4;
+
+}

school/di-ma/20181121_2-planare_graphen.md

@@ -0,0 +1,273 @@
+---
+title: Planare Graphen
+date: 2018-11-21
+---
+
+**Frage**: Welche Graphen kann man besonders "schön" zeichnen?
+
+Genauer: Welche Graphen kann man so zeichnen, dass sich keine Kanten schneiden?
+
+
+# Definition (Planarer Graph)
+
+Ein Graph $G=(V,E)$ heißt planar, falls er so in die Ebene eingebettet werden
+kann, dass sich keine Kanten schneiden.
+
+
+**Beispiel**:
+
+i) $K_3$ ![$K_3$](20181121_2-k3.png) ist planar
+i) $K_4$ ![$K_4$](20181121_2-k4.png) ist planar
+i) $K_5$ ![$K_5$](20181121_2-k5.png) ist nicht planar
+
+
+**Bemerkungen**:
+
+i) Planar ist Eigenschaft des Graphen, nicht der Einbettung (Auch planare
+Graphen können nicht planar Gezeichnet werden)
+
+i) Zu zeigen, dass ein Graph **nicht** planar ist, ist (erstmal) nicht so
+einfach
+
+
+**Weitere Beispiele**:
+
+Vollständige bipartite Graphen $K_{n,m}=(V,E)$ bestehen aus 2 disjunkten
+Knotenmengen $V_1, V_2$ mit $|V_1| = n, |V_2| = m$ und $V = V_1 \biguplus V_2$
+wobei $E = \{ \{u,v\} | u \in V_1, v \in V_2 \}$
+
+i) $K_{2,3}$: ![$K_{2,3}$](20181121_2-k23.png) ist planar ($\{1,4\}$ und
+$\{1,5\}$ außen zeichnen)
+
+i) $K_{3,3}$: ![$K_{3,3}$](20181121_2-k33.png) ist nicht planar
+
+
+Wir betrachten als nächstes die Gebiete/Flächen in die die planare Einbettung
+eines planaren Graphen die Ebene unterteilt.
+
+**Beispiel**:
+
+i) $K_3$ unterteilt die Ebene in 2 Flächen (eine innere und eine äußere)
+i) $K_4$ unterteilt die Ebene in 4 Flächen
+i) $K_{2,3}$ unterteilt die Ebene in 3 Flächen
+
+Die Anzahl der Flächen/Gebiete ist unabhängig von der genauen planaren
+Einbettung.
+
+# Satz (Eulersche Polyederformel)
+
+Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender planarer Graph. Sei $f$ die Anzahl der
+Gebiete einer planaren Einbettung von $G$. Dann gilt $f = |E| - |V| + 2$
+
+# Beweis (Eulersche Polyederformel)
+
+(per Induktion über $|E|$)
+
+**Induktionsanfang**: Da $G$ zusammenhängend gilt $|E| \geq |V| - 1$. Daher
+Induktionsanfang für $|E| = |V| - 1$. Damit ist $G$ ein Baum und die Anzahl der
+Gebiete $f$ ist 1 (1 äußeres, 0 innere). Es gilt
+
+$$
+\begin{align*}
+1 = f &= |E| - |V| + 2 \\
+&= (|V| - 1) - |V| + 2 = 1
+\end{align*}
+$$
+
+**Induktionsschritt**: Sei nun $|E| > |V| - 1$. Dann enthält $G$ einen Kreis
+und sei $c = \{u,v\} \in E$ eine Kreiskante. Betrachte $G' = (V, E \setminus
+\{c\})$. Dann gilt (nach Induktionsanfang):
+
+i) $f' = |E'| - |V| + 2 = (|E| - 1) - |V| + 2$
+i) $f' = f - 1$ da durch Wegnahme von $c$ zwei Gebiete von $G$ zusammenfallen
+
+$\Rightarrow$ $f - 1 = f' = |E| - |V| + 1$
+
+$\Rightarrow$ $f = |E| - |V| + 2$
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+Verallgemeinerung des obigen Satzes:
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ ein planarer Graph mit $k$ Zusammenhangskomponenten. Sei $f$ die
+Anzahl der Gebiete eines planaren Diagrammes, dann gilt
+
+$$
+f = |E| - |V| + k + 1
+$$
+
+
+# Beweis
+
+Seien $G_i = (V_i,E_i)$, $i \in \{1,...,k\}$ die Zusammenhangskomponenten von
+$G$. Dann gilt
+
+$$
+\begin{align*}
+V &= \biguplus\limits_{i \in \{1,...,k\}} V_i \\
+E &= \biguplus\limits_{i \in \{1,...,k\}} E_i
+\end{align*}
+$$
+
+Sei $f_i$ die Anzahl der Gebiete von $G_i$, dann gilt
+
+i) $f_i = |E_i| - |V_i| + 2$ (Satz von oben, Zusammenhangskomponenten sind
+zusammenhängend)
+
+i) $f = \sum\limits_{i=1}^k f_i - (k-1)$, da wir in $\sum\limits_{i=1}^k f_i$
+das äußere Gebiet $k$-mal gezählt haben.
+
+$$
+\begin{align*}
+\Rightarrow f &= \sum\limits_{i=1}^k (|E_i| - |V_i| - 2) - (k-1) \\
+&= \sum\limits_{i=1}^k |E_i| - \sum\limits_{i=1}^k |V_i| + 2k -(k-1) \\
+&= |E| - |V| + k + 1
+\end{align*}
+$$
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+Der folgende Satz zeigt, dass planare Graphen für gegebenes $|V|$ nicht zu viele
+Kanten haben können.
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ planar mit $|V| \geq 3$. Dann gilt $|E| \leq 3 |V| - 6$
+
+
+## Beispiel
+
+$K_5$ hat $|V|=5$ Knoten und $|E|=\binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2} = 10$
+Kanten und es gilt $3 * |V| - 6 = 9 < 10 = |E|$
+
+$\Rightarrow$ $K_5$ ist nicht planar
+
+
+# Beweis
+
+Sei ohne Einschränkung $G=(V,E)$ zusammenhängend. Seien $R_1,...,R_f$ die
+Gebiete eines planaren Diagrammes von $G$ und $E = \{ e_1,...e_m \}$ die
+Kanten. Betrachte folgende Matrix:
+
+$$
+A = a_{i,j} = \begin{cases}
+1 & \text{falls } e_i \text{ das Gebiet } R_i \text{ berandet} \\
+0 & \text{sonst}
+\end{cases}
+$$
+
+Dann gilt
+
+i) Zeilensummen sind $\leq 2$
+i) Spaltensummen sind $\geq 3$
+
+Doppeltes Abzählen liefert $ef \leq 2 |E|$
+
+$\Rightarrow$ $f = \frac{2}{3} |E|$ und da $f = |E| -|V|+2$ gibt, folgt
+
+$\Rightarrow$ $|E|-|V|+2 \leq \frac{2}{3} |E|$
+
+$\Rightarrow$ $\frac{1}{3}|E| \leq |V|-2$
+
+$\Rightarrow$ $|E| \leq 3 |V| -6$
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+
+Für $K_{3,3}$ reicht der Satz nicht aus, denn $|V| = 6$ und $|E|=9$ und
+$3|V|-6=12>9=|E|$. Aus dem Satz folgt nicht, dass $K_{3,3}$ nicht planar ist.
+Aber es stimmt trotzdem.
+
+# Erweiterung des Satzes
+
+Sei $G$ ein planarer Graph, der keinen Kreis der Länge 3 enthält. Dann gilt
+
+$$
+|R| \leq 2|V| -4
+$$
+
+In diesem Fall wird dieses Gebiet von mindestens 4 Kanten umrandet.  Der Beweis
+folgt dann analog zu oben.
+
+$K_{3,3}$ enthält keinen Kreis der Länge 3 und $2|V| - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 8 <
+9 = |E|$.
+
+$\Rightarrow$ $K_{3,3}$ ist nicht planar.
+
+
+# Korollar
+
+$K_5$ und $K_{3,3}$ sind nicht planar.
+
+
+a) Im wesentlichen sind das alle. Klar ist, dass jeder Graph $G=(V,E)$, der
+$K_5$ oder $K_{3,3}$ als Teilgraph enthält nicht planar ist. Denn jeder
+Teilgraph eines planaren Graphen ist planar
+
+a) **Unterteilungen** eines Graphen $G=(V,E)$ entstehen durch ersetzen einer
+    Kante durch einen Pfad (und entsprechend Einfügen von neuen Knoten).
+
+    **Beispiel**: $K_4$ ![$K_4$](20181121_2-k4_unterteilung.png)
+
+    Unterteilungen des $K_5$ und $K_{3,3}$ sind nicht planar.
+
+    **Allgemein**: Unterteilungen von nicht planaren Graphen sind nicht planar
+    (und umgekehrt).
+
+
+Diese beiden Punkte a) und b) zusammen mit $K_5$ und $K_{3,3}$ nicht planar
+charakterisieren alle nicht planaren Graphen (ohne Beweis)
+
+
+# Satz (Nicht-planar)
+
+Sei $G=(V,E)$ ein Graph. G ist nicht-planar genau dann, wenn G eine
+Unterteilung des $K_5$ oder $K_{3,3}$ als Teilgraph enthält
+
+"$\Leftarrow$" haben wir gezeigt
+
+"$\Rightarrow$" schwer
+
+
+## Bemerkung
+
+Es gibt Algorithmen, die in Laufzeit $O(|V|+|E|)§ entscheiden, ob $G=(V,E)$
+planar ist, oder nicht, und die, falls $G$ planar ist, ein planares Diagramm
+von $G$ berechnen
+
+Das folgende Korollar werden wir später nutzen
+
+## Korollar
+
+$Sei $G=(V,E)$ ein planarer zusammenhängender Graph. Dann gibt es ein $v \in V$
+mit $deg(v) \leq 5$
+
+## Beweis
+
+Für $|V| < 3$ ist diese Aussage trivial. Sei also $|V| \geq 3$ und $d =
+\min\limits_{v \in V} deg(v)$. Dann gilt
+
+$$
+\begin{align*}
+d * |V| \leq \sum\limits_{v \in V} deg(v) = 2*|E| &\leq 2 * (3 * |V| - 6) \\
+&= 6 * |V| - 12 \\
+&< 6*|V|
+\end{align*}
+$$
+
+$\Rightarrow$ $d < 6$ $\Rightarrow$ $\exists v \in V: deg(v) < 6$
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$

school/di-ma/20181128_1-faerbung.dot

@@ -0,0 +1,20 @@
+graph g {
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank="same";
+        1;
+        3;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        2;
+        4;
+    }
+
+    1 -- 3;
+    1 -- 2;
+    1 -- 5;
+    2 -- 5;
+    4 -- 5;
+    3 -- 4;
+}

school/di-ma/20181128_1-knotenfaerbung.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+---
+title: Knoten-Färbung
+date: 2018-11-28
+---
+
+# Motivation
+
+a) Mobilfunk: Masten/Frequenzen
+
+    i) Mobilfunkmasten, deren Sendebereich überlappt, brauchen verschiedene
+    Frequenzen zum senden.
+
+    i) Wir wollen insgesamt möglichst wenige Frequenzen nutzen
+
+    **Als Graph**: Mobilfunkmasten $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen
+    Knoten, falls Sendebereich überlappt. Frequenzen zuweisen, so dass
+    benachbarte Knoten unterschiedliche Frequenzen haben
+
+a) Compilerbau: Zur selben Zeit genutzte Variablen sollen in unterschiedlichen
+Registern gespeichert werden
+
+a) Landkarten: Benachbarte Länder sollen unterschiedliche Farben bekommen.
+Länder $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zu Knoten, falls Länder eine gemeinsame
+Grenze haben (hier: planare Graphen).
+
+
+# Definition (Knoten-Färbung)
+
+Sei $k \in \mathbb{N}$ und $G=(V,E)$ Graph
+
+i) Eine $k$-Färbung von $G$ ist eine Abbildung
+
+    $$
+    C: v \rightarrow \{1,...,k\}
+    $$
+
+    mit der Eigenschaft $\forall \{u,v\} \in E : c(u) \neq c(v)$
+
+i) $G$ heist **$k$-färbbar**, falls es eine $k$-Färbung von $G$ gibt
+
+i) Die **chromatische Zahl** $\chi(G)$ von $G$ ist definiert als
+
+    $$
+    \chi(G) = \min \{ k\in \mathbb{N} | G \text{ ist } k \text{-färbbar} \}
+    $$
+
+
+## Beispiel
+
+a) ![Graph](20181128_1-faerbung.png)
+
+    $$
+    c(1) = 1 \\
+    c(2) = 3 \\
+    c(3) = 2 \\
+    c(4) = 1 \\
+    c(5) = 2 \\
+    \\
+    \chi(G) = 3
+    $$
+
+a) Jeder Graph $G=(V,E)$ miz $|V|=n$ ist $n$-färbbar
+
+a) Es gilt $\chi(K_n) = n$
+
+a) Kreise $C_n$
+
+    i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$
+    
+    i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$
+
+a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph $G=(V,E)$. Es gibt eine Partition von
+$V$ in $V_1$ und $V_2$. $V = V_1 \biguplus V_2$ und $E \subseteq \{ \{u,v\} | u
+\in V_1, v \in V_2 \}$. Bipartite Graphen haben $\chi(G) = 2$ und es gilt
+sogar:
+
+
+# Satz
+
+Ein Graph $G=(V,E)$ hat $\chi(G) = 2$ $\Leftrightarrow$ $G$ ist bipratit.

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