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|---|---|
| Knoten-Färbung | 2018-11-28 |
Motivation
a) Mobilfunk: Masten/Frequenzen
i) Mobilfunkmasten, deren Sendebereich überlappt, brauchen verschiedene
Frequenzen zum senden.
i) Wir wollen insgesamt möglichst wenige Frequenzen nutzen
**Als Graph**: Mobilfunkmasten $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen
Knoten, falls Sendebereich überlappt. Frequenzen zuweisen, so dass
benachbarte Knoten unterschiedliche Frequenzen haben
a) Compilerbau: Zur selben Zeit genutzte Variablen sollen in unterschiedlichen Registern gespeichert werden
a) Landkarten: Benachbarte Länder sollen unterschiedliche Farben bekommen.
Länder \widehat{=} Knoten. Kanten zu Knoten, falls Länder eine gemeinsame
Grenze haben (hier: planare Graphen).
Definition (Knoten-Färbung)
Sei k \in \mathbb{N} und G=(V,E) Graph
i) Eine $k$-Färbung von G ist eine Abbildung
$$
C: v \rightarrow \{1,...,k\}
$$
mit der Eigenschaft $\forall \{u,v\} \in E : c(u) \neq c(v)$
i) G heist $k$-färbbar, falls es eine $k$-Färbung von G gibt
i) Die chromatische Zahl \chi(G) von G ist definiert als
$$
\chi(G) = \min \{ k\in \mathbb{N} | G \text{ ist } k \text{-färbbar} \}
$$
Beispiel
a) 
$$
c(1) = 1 \\
c(2) = 3 \\
c(3) = 2 \\
c(4) = 1 \\
c(5) = 2 \\
\\
\chi(G) = 3
$$
a) Jeder Graph G=(V,E) miz |V|=n ist $n$-färbbar
a) Es gilt \chi(K_n) = n
a) Kreise C_n
i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$
i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$
a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph G=(V,E). Es gibt eine Partition von
V in V_1 und V_2. V = V_1 \biguplus V_2 und $E \subseteq { {u,v} | u
\in V_1, v \in V_2 }$. Bipartite Graphen haben \chi(G) = 2 und es gilt
sogar:
Satz
Ein Graph G=(V,E) hat \chi(G) = 2 \Leftrightarrow G ist bipratit.