Finish exercise 5

school/intro-crypto/uebung/05/05.tex

@@ -79,7 +79,7 @@
         \end{figure}
         \begin{figure}[h!]
             \centering
-            \includegraphics[width=\textwidth]{school/intro-crypto/uebung/05/a1i2.jpg}
+            \includegraphics[width=\textwidth/2]{school/intro-crypto/uebung/05/a1i2.jpg}
             \caption{Struktur einer Feistel Runde}
             \label{feist_round}
         \end{figure}
@@ -158,25 +158,30 @@
 \section*{Aufgabe 3}
 
 
-\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
-    \hline
-    & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
-    Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
-    $IP(x)$     & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\\hline
-\end{tabular}
-
-$L_0 = 11111111111111111111111111111111$
-
-$R_0 = 11111111111111111111111111111101 = L_1$
-
-Das zu beobachtende Bit steht an Position $31$.
-
-$E(R_0) = 111111111111111111111111111111111111111111111011$
 
 
 \begin{enumerate}[a)]
 
-    \item Auswirkungen:
+    \item
+        \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
+            \hline
+            & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
+            Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 0 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
+            $IP(x)$     & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\\hline
+        \end{tabular}
+
+        \begin{align*}
+            L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
+            R_0 &= 11111111111111111111111111111101 = L_1
+        \end{align*}
+
+        Das zu beobachtende Bit steht an Position $31$.
+
+        \begin{align*}
+            E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111011
+        \end{align*}
+
+        Auswirkungen:
 
         $S_1\ \square$
         $S_2\ \square$
@@ -224,29 +229,145 @@ $E(R_0) = 111111111111111111111111111111111111111111111011$
 
         S-Box $S_8$: $08 = 1000$
 
-        Ausgabe nach allen S-Boxen: $s = 11101111101001110010110001001000$
+        Ausgabe nach allen S-Boxen:
-
-        $P(s) = 10000010010110011101011100111011$ (berechnet mit Code im Anhang)
-
-        $P(s) \oplus L_0 = 01111101101001100010100011000100 = R_1$
 
         \begin{align*}
-            L_1 = R_0:\\
+            s &= 11101111101001110010110001001000 \\
-            11111111111111111111111111111101 \\
+            P(s) &= 10000010010110011101011100111011 \\
-            R_1:\\
+            P(s) \oplus L_0 &= 01111101101001100010100011000100 = R_1 \\
-            01111101101001100010100011000100
+            \\
+            L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111101 \\
+            R_1 &= 01111101101001100010100011000100
         \end{align*}
 
     \item
+        \begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
+            \hline
+            & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
+            Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
+            $IP(x)$     & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
+        \end{tabular}
 
         \begin{align*}
-            L_1:\\
+            L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
-            R_1:\\
+            R_0 &= 11111111111111111111111111111111 = L_1 \\
+            E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
+            E(R_0) &\oplus 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
+                   &= 000000000000000000000000000000000000000000000000
         \end{align*}
 
+        Einzige Änderung in S-Box $S_8$:
+
+        \begin{align*}
+            S_8(000000) &= 13 = 1101 \\
+            s &= 11101111101001110010110001001101 \\
+            P(s) &= 10000010011110011101011110111011 \\
+            \\
+            L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
+            R_1 &= 01111101100001100010100001000100 \\
+        \end{align*}
+
+        Anzahl geänderter Bits: In $L_1$: 1, in $R_1$: 2. Insgesamt 3 geänderte Bits
+
 \end{enumerate}
 
 \section*{Aufgabe 4}
 
+Aufbau einer Runde DES:
+
+Input: 64 Bit Daten unterteilt in $L_{n-1}, R_{n-1}$ und der Schlüssel $k_n$
+
+Output: $L_n$ und $R_n$, der Input für die nächst Feistel Runde
+
+Eine Runde im Feistel Netz sei beschrieben durch
+
+\begin{align*}
+    F &: (L_{n-1}, R_{n-1}, k_n) \to (L_n, R_n) \\
+\end{align*}
+
+mit
+
+\begin{align*}
+    L_n &= R_{n-1} \\
+    R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
+    f(k, x) &= P(S(E(x) \oplus k))
+\end{align*}
+
+mit den S-Boxen beschrieben in $S$, der E-Box $E$ und der abschließenden P-Box $P$
+
+Einschub: $a \oplus b = \overline{a} \oplus \overline{b}$ \\
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
+    \hline
+    $a$ & $b$ & $\overline{a}$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $\overline{a} \oplus \overline{b}$ \\\hline
+    0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
+    0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
+    1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
+\end{tabular}
+
+Da $E$ nichts berechnet sondern nur deterministisch manche Bits kopiert, gilt $E(\overline{x}) = \overline{E(x)}$
+
+$\Rightarrow$ Der Input für die S-Boxen ist also
+
+\begin{align*}
+    s &= E(\overline{x}) \oplus \overline{k} = \\
+      &= \overline{E(x)} \oplus \overline{k} = \\
+      &= E(x) \oplus k
+\end{align*}
+
+Da der Input der S-Boxen für $f(k, x)$ und $f(\overline{k}, \overline{x})$ gleich ist, ist auch der Output gleich
+
+\begin{align*}
+    \Rightarrow f(k, x) &= f(\overline{k}, \overline{x})
+\end{align*}
+
+Einschub: $a \oplus \overline{b} = \overline{a \oplus b}$ \\
+
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+    \hline
+    $a$ & $b$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $a \oplus \overline{b}$ \\\hline
+    0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\hline
+    0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline
+    1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\hline
+    1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\hline
+\end{tabular} \\
+
+Da der Output von $f$ gleich bleibt für komplementären Input:
+
+\begin{align*}
+    R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
+    \\
+    \overline{R_n} &= f(\overline{k_n}, \overline{R_{n-1}}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
+                   &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
+\end{align*}
+
+Da $L_n$ ohne Veränderung aus $R_{n-1}$ übernommen wird, gilt weiter:
+
+\begin{align*}
+    \overline{L_n} &= \overline{R_{n-1}}
+\end{align*}
+
+Für jede einzelne Runde im Feistel Netz gilt also
+
+\begin{align*}
+    F(\overline{L_{n-1}}, \overline{R_{n-1}}, \overline{k_n}) &= \overline{F(L_{n-1}, R_{n-1}, k_n)}
+\end{align*}
+
+Da auch die Ein- und Ausgangspermutation $IP$ und $IP^{-1}$ nur Bits auf eine deterministische Weise vertauschen, gilt:
+
+\begin{align*}
+    \overline{i(x)} = i(\overline{x}) \forall i \in \{IP, IP^{-1}\}
+\end{align*}
+
+Ein- und Ausgangspermutation geben für komplementären Input also komplementären Output, genauso wie jede Runde im
+Feistel Netz und damit der gesamte DES Algorithmus
+
+$\Rightarrow$ Wenn $y = DES_k(x)$, dann $\overline{y} = DES_{\overline{k}}(\overline{x})$
+
+% \section*{Code}
+
+% \inputminted{rust}{./school/intro-crypto/uebung/05/p/src/main.rs}
+
 \end{document}