Finish exercise 5
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a606520494
@ -79,7 +79,7 @@
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\end{figure}
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth]{school/intro-crypto/uebung/05/a1i2.jpg}
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\includegraphics[width=\textwidth/2]{school/intro-crypto/uebung/05/a1i2.jpg}
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\caption{Struktur einer Feistel Runde}
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\label{feist_round}
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\end{figure}
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@ -158,6 +158,11 @@
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\section*{Aufgabe 3}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item
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\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
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\hline
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& $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
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@ -165,18 +170,18 @@
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||||
$IP(x)$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 0 & 1 \\\hline
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\end{tabular}
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$L_0 = 11111111111111111111111111111111$
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$R_0 = 11111111111111111111111111111101 = L_1$
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\begin{align*}
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L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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R_0 &= 11111111111111111111111111111101 = L_1
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\end{align*}
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Das zu beobachtende Bit steht an Position $31$.
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$E(R_0) = 111111111111111111111111111111111111111111111011$
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\begin{align*}
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E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111011
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||||
\end{align*}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Auswirkungen:
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Auswirkungen:
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$S_1\ \square$
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$S_2\ \square$
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@ -224,29 +229,145 @@ $E(R_0) = 111111111111111111111111111111111111111111111011$
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S-Box $S_8$: $08 = 1000$
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Ausgabe nach allen S-Boxen: $s = 11101111101001110010110001001000$
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$P(s) = 10000010010110011101011100111011$ (berechnet mit Code im Anhang)
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$P(s) \oplus L_0 = 01111101101001100010100011000100 = R_1$
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Ausgabe nach allen S-Boxen:
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\begin{align*}
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L_1 = R_0:\\
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11111111111111111111111111111101 \\
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R_1:\\
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01111101101001100010100011000100
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||||
s &= 11101111101001110010110001001000 \\
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||||
P(s) &= 10000010010110011101011100111011 \\
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||||
P(s) \oplus L_0 &= 01111101101001100010100011000100 = R_1 \\
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||||
\\
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||||
L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111101 \\
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||||
R_1 &= 01111101101001100010100011000100
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||||
\end{align*}
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||||
\item
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\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}
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||||
\hline
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||||
& $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_{56}$ & $x_{57}$ & $x_{58}$ & ... & $x_{63}$ & $x_{64}$ \\\hline
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||||
Eingabe $x$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
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||||
$IP(x)$ & 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 & 1 \\\hline
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||||
\end{tabular}
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\begin{align*}
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L_1:\\
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R_1:\\
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L_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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||||
R_0 &= 11111111111111111111111111111111 = L_1 \\
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||||
E(R_0) &= 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
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||||
E(R_0) &\oplus 111111111111111111111111111111111111111111111111 \\
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||||
&= 000000000000000000000000000000000000000000000000
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||||
\end{align*}
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Einzige Änderung in S-Box $S_8$:
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\begin{align*}
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S_8(000000) &= 13 = 1101 \\
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s &= 11101111101001110010110001001101 \\
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||||
P(s) &= 10000010011110011101011110111011 \\
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||||
\\
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||||
L_1 = R_0 &= 11111111111111111111111111111111 \\
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||||
R_1 &= 01111101100001100010100001000100 \\
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||||
\end{align*}
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Anzahl geänderter Bits: In $L_1$: 1, in $R_1$: 2. Insgesamt 3 geänderte Bits
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\end{enumerate}
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\section*{Aufgabe 4}
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Aufbau einer Runde DES:
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Input: 64 Bit Daten unterteilt in $L_{n-1}, R_{n-1}$ und der Schlüssel $k_n$
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Output: $L_n$ und $R_n$, der Input für die nächst Feistel Runde
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Eine Runde im Feistel Netz sei beschrieben durch
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\begin{align*}
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F &: (L_{n-1}, R_{n-1}, k_n) \to (L_n, R_n) \\
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\end{align*}
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mit
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\begin{align*}
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L_n &= R_{n-1} \\
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R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
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f(k, x) &= P(S(E(x) \oplus k))
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\end{align*}
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mit den S-Boxen beschrieben in $S$, der E-Box $E$ und der abschließenden P-Box $P$
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Einschub: $a \oplus b = \overline{a} \oplus \overline{b}$ \\
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
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\hline
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||||
$a$ & $b$ & $\overline{a}$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $\overline{a} \oplus \overline{b}$ \\\hline
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0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
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||||
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline
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||||
\end{tabular}
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||||
Da $E$ nichts berechnet sondern nur deterministisch manche Bits kopiert, gilt $E(\overline{x}) = \overline{E(x)}$
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$\Rightarrow$ Der Input für die S-Boxen ist also
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\begin{align*}
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s &= E(\overline{x}) \oplus \overline{k} = \\
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&= \overline{E(x)} \oplus \overline{k} = \\
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&= E(x) \oplus k
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\end{align*}
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||||
Da der Input der S-Boxen für $f(k, x)$ und $f(\overline{k}, \overline{x})$ gleich ist, ist auch der Output gleich
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\begin{align*}
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\Rightarrow f(k, x) &= f(\overline{k}, \overline{x})
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\end{align*}
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||||
Einschub: $a \oplus \overline{b} = \overline{a \oplus b}$ \\
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
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\hline
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||||
$a$ & $b$ & $\overline{b}$ & $a \oplus b$ & $a \oplus \overline{b}$ \\\hline
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||||
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\hline
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||||
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\hline
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||||
1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\hline
|
||||
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\hline
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||||
\end{tabular} \\
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||||
Da der Output von $f$ gleich bleibt für komplementären Input:
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\begin{align*}
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R_n &= f(k_n, R_{n-1}) \oplus L_{n-1} \\
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\\
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||||
\overline{R_n} &= f(\overline{k_n}, \overline{R_{n-1}}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
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||||
&= f(k_n, R_{n-1}) \oplus \overline{L_{n-1}} \\
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||||
\end{align*}
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Da $L_n$ ohne Veränderung aus $R_{n-1}$ übernommen wird, gilt weiter:
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\begin{align*}
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\overline{L_n} &= \overline{R_{n-1}}
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\end{align*}
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Für jede einzelne Runde im Feistel Netz gilt also
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\begin{align*}
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F(\overline{L_{n-1}}, \overline{R_{n-1}}, \overline{k_n}) &= \overline{F(L_{n-1}, R_{n-1}, k_n)}
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\end{align*}
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Da auch die Ein- und Ausgangspermutation $IP$ und $IP^{-1}$ nur Bits auf eine deterministische Weise vertauschen, gilt:
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\begin{align*}
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\overline{i(x)} = i(\overline{x}) \forall i \in \{IP, IP^{-1}\}
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\end{align*}
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Ein- und Ausgangspermutation geben für komplementären Input also komplementären Output, genauso wie jede Runde im
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Feistel Netz und damit der gesamte DES Algorithmus
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$\Rightarrow$ Wenn $y = DES_k(x)$, dann $\overline{y} = DES_{\overline{k}}(\overline{x})$
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% \section*{Code}
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% \inputminted{rust}{./school/intro-crypto/uebung/05/p/src/main.rs}
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\end{document}
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