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school/di-ma/20181023_2-baelle_und_urnen.md

@@ -27,3 +27,17 @@ Notation:
 
 Die Fälle A-D entsprechen genau den Fällen A-D beim ziehen von $n$ Elementen aus einer $m$-elementingen Menge (gezogen
 werden Urnen für die Bälle).
+
+**Fall E**: Betrachte die Menge der Bälle. Aufteilen auf $m$ Urnen entspricht einer (ungeordneten) $m$-Mengenpartition.
+Also $S_{n,m}$ Möglichkeiten.
+
+**Fall F**: Entspricht der geordneten Mengenpartition (analog zu Fall E). Davon gibt es $m! * S_{n,m}$ Möglichkeiten, da
+es $m!$ Möglichkeiten gibt, eine ungeordnete Partition anzuordnen
+
+**Fall G**: Es kommt nur auf die Anzahl der Bälle in den Urnen an. Damit entspricht jede Möglichkeit einer ungeordneten
+Zahlpartition von $n$. Surjektivität bedeutet alle Summanden mindestens $1$.
+
+**Fall H**: Entspricht den geordneten Zahlpartitionen.
+
+**Fall I und J**: Im Gegensatz zu Fall E und G können hier Urnen leer bleiben. Wir betrachten die disjunkten Fälle, dass
+in $k \in \{1,...,m\}$ Urnen Bälle landen.

school/di-ma/20181030_1-bwb_1.dot

@@ -0,0 +1,4 @@
+graph {
+    node [ shape="point" ];
+    0
+}

school/di-ma/20181030_1-bwb_2.dot

@@ -0,0 +1,10 @@
+graph {
+    node [ shape="point" ];
+    2 [ style="invis" ];
+    0 -- 1;
+    0 -- 2 [ style="invis" ];
+
+    3 -- 4;
+    5 [ style="invis" ];
+    3 -- 5 [ style="invis" ];
+}

school/di-ma/20181030_1-bwb_3.dot

@@ -0,0 +1,8 @@
+graph {
+    node [ shape="point" ];
+    2 [ style="invis" ];
+    0 -- 1;
+    0 -- 2 [ style="invis" ];
+
+
+}

school/di-ma/20181030_1-bwb_ex.dot

@@ -0,0 +1,16 @@
+graph {
+    node [ shape="point" ];
+    0 [ label="" ];
+    1 [ label="" ];
+    2 [ label="" ];
+    3 [ label="" ];
+    4 [ label="" ];
+    5 [ label="" ];
+    6 [ label="" ];
+    7 [ label="" ];
+
+    0 -- 1;
+    0 -- 2 -- 3;
+    3 -- 4;
+    3 -- 5 -- 6 -- 7;
+}

school/di-ma/20181030_1-catalanzahlen.md

@@ -0,0 +1,52 @@
+---
+title: Catalanzahlen
+date: 2018-10-30
+---
+
+Wir wollen 3 scheinbar verschiedene Objekte zählen:
+
+a) Korrekte Klammerung
+b) Binäre Wurzelbäume
+c) Triangulierungen eines konvexen n-Ecks
+
+## Korrekte Klammerung
+
+Syntaktisch korrekte Klammerung mit $n$ Klammerpaaren. Die Anzahl dieser Klammerungen bezeichnen wir mit $C_n$
+(Catalanzahlen).
+
+Syntaktisch korrekt:
+
+i) Alle Klammern müssen geschlossen werden
+ii) Keine Klammer darf geschlossen werden, bevor sie geöffnet wurde
+
+**Beispiel**:
+
+`((()()))` ist eine korrekte Klammerung mit $n = 4$ Klammerpaaren
+
+`())(` ist keine korrekte Klammerung
+
+
+* $n = 0$ leere Klammerung
+
+  $C_0 = 1$
+
+* $n = 1$ `()`
+
+  $C_1 = 1$
+
+* $n = 2$ `()()` oder `(())`
+
+  $C_2 = 2$
+
+* $n = 3$ `()()()`, `()(())`, `(())()`, `((()))`, `(()())`
+
+  $C_3 = 5$
+
+
+## Binäre Wurzelbäume
+
+Binäre Wurzelbäume mit mindestens einem Konten bestehen aus einem ausgezeichneten Knoten (Wurzel). Jeder Knoten hat
+maximal 2 Kindknoten, wobei wir linken und rechten Kindknoten unterscheiden. Wir bezeichnen mit $B_n$ die Anzahl der
+binären Wurzelbäume mit $n$ Knoten.
+
+Beispiel

school/di-ma/index.md

@@ -11,5 +11,6 @@ subtitle: >
 - [2018-10-17 Wichtige Kombinatorische Probleme](20181017_1-wichtige_kombinatorische_probleme)
 - [2018-10-23 Zahlpartitionen](20181023_1-zahlpartitionen)
 - [2018-10-23 Bälle und Urnen](20181023_2-baelle_und_urnen)
-- [2019-11-13 Directed Acyclic Graph](20181113_1-dag)
+- [2018-10-30 Catalanzahlen](20181030_1-catalanzahlen.md)
-- [2019-11-13 Breitensuche](20181113_2-breitensuche)
+- [2018-11-13 Directed Acyclic Graph](20181113_1-dag)
+- [2018-11-13 Breitensuche](20181113_2-breitensuche)

school/di-ma/uebung/07/07_3.tex

@@ -0,0 +1,83 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {7}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 7.3}
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Startknoten: Einen der inneren oder einen der äußeren
+        Knoten
+
+        Fallunterscheidung:
+
+        \begin{enumerate}[i)]
+            \item Starten bei einem inneren Knoten:
+
+            \item Starten bei einem äußeren Knoten
+        \end{enumerate}
+
+    \item Aufgrund der Symmetrie gibt es nur zwei unterscheidbare Arten von Knoten, von denen einer entfernt werden
+        kann.
+
+        \begin{enumerate}[i)]
+
+            \item Entfernen eines inneren Knoten ($2$):
+
+                Hamiltonkreis: $(1,3,4,8,10,9,7,5,6,1)$
+
+            \item Entefernen eines äußeren Knoten ($1$):
+
+                Hamiltonkreis: $(2,7,9,3,4,5,6,10,8,2)$
+
+        \end{enumerate}
+
+        Für alle (unterscheidbaren) Möglichkeiten, einen Knoten zu entfernen, wurde gezeigt, dass es einen
+        Hamiltonkreis gibt und der Graph damit hamiltonsch ist.
+
+        q.e.d.
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/07/07_3_i.dot

@@ -0,0 +1,26 @@
+graph {
+    node [ shape=point ];
+    1 [ xlabel="1" ];
+    {
+        rank="same";
+        2 [ xlabel="2" ];
+    }
+    1 -- 2;
+
+    {
+        rank="same";
+        3 [ xlabel="3" ];
+        4 [ xlabel="4" ];
+        5 [ xlabel="5" ];
+        6 [ xlabel="6" ];
+    }
+    1 -- 3;
+    1 -- 6;
+    3 -- 4;
+    5 -- 6;
+
+    7 [ xlabel="7" ];
+    8 [ xlabel="8" ];
+    9 [ xlabel="9" ];
+    10 [ xlabel="10" ];
+}