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| title | date |
|---|---|
| Bälle und Urnen | 2018-10-23 |
Gegeben: n Bälle, m Urnen
Frage: Wie viele Möglichkeiten gib es, diese Bälle auf die Urnen zu verteilen?
Antwort ist abhängig davon, was man genau möchte.
- Bälle/Urnen (nicht) unterscheidbar
- In jeder Urne höchstens ein Ball (injektiv)
\Rightarrow m \geq n - In jeder Urne mindestens ein Ball (surjektiv)
\Rightarrow n \geq m - In jeder Urne genau ein Ball (bijektiv)
\Rightarrow n = m
Notation:
U \widehat{=}unterscheidbarN \widehat{=}nicht unterscheidbar
| ... | beliebig | injektiv | surjektiv | bijektiv |
|---|---|---|---|---|
B: U, U: U |
A: m^n |
B: n^{\underline{m}} |
F: m!s_{n,m} |
n! = m! |
B: N, U: U |
D: \binom{m+n-1}{n} |
C: \binom{m}{n} |
H: \binom{n-1}{m-1} |
1 |
B: U, U: N |
I: \sum\limits_{k=1}^m S_{n,k} |
1 | E: S_{n,m} |
1 |
B: N, U: N |
J: \sum\limits_{k=1}^m P_{n,k} |
1 | G: P_{n,m} |
1 |
Die Fälle A-D entsprechen genau den Fällen A-D beim ziehen von n Elementen aus einer $m$-elementingen Menge (gezogen
werden Urnen für die Bälle).
Fall E: Betrachte die Menge der Bälle. Aufteilen auf m Urnen entspricht einer (ungeordneten) $m$-Mengenpartition.
Also S_{n,m} Möglichkeiten.
Fall F: Entspricht der geordneten Mengenpartition (analog zu Fall E). Davon gibt es m! * S_{n,m} Möglichkeiten, da
es m! Möglichkeiten gibt, eine ungeordnete Partition anzuordnen
Fall G: Es kommt nur auf die Anzahl der Bälle in den Urnen an. Damit entspricht jede Möglichkeit einer ungeordneten
Zahlpartition von n. Surjektivität bedeutet alle Summanden mindestens 1.
Fall H: Entspricht den geordneten Zahlpartitionen.
Fall I und J: Im Gegensatz zu Fall E und G können hier Urnen leer bleiben. Wir betrachten die disjunkten Fälle, dass
in k \in \{1,...,m\} Urnen Bälle landen.