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Valentin Brandl 2018-11-05 22:29:46 +01:00
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commit fc55a49fb7
No known key found for this signature in database
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89
school/di-ma/uebung/03/03_1.tex Normal file
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@ -0,0 +1,89 @@
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl} %
\def \matrikel {108018274494} %
\def \pname {Marvin Herrmann} %
\def \pmatrikel {108018265436} %
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834} %
\def \uebung {3} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}
\begin{document}
%Import header
\hwsol
\section*{Aufgabe 3.1}
\begin{enumerate}[1.]
\item Getränke $\widehat{=}$ Bälle (unterscheidbar); Tablets $\widehat{=}$ Urnen (nicht unterscheidbar)
In jeder Urne mindestens ein Ball $\Rightarrow$ surjektiv.
$\Rightarrow$ $S_{n,m}$ mit $n = 8$, $m = 4$
\begin{tabular}{c|cccccccccc}
$n/m$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline
0 & 1 &&&&\\
1 & 0 & 1 & & & \\
2 & 0 & 1 & 1 & & \\
3 & 0 &1 &3 &1 & \\
4 & 0 &1 &7 &6 &1 \\
5 & 0 &1 &15 &25 &10 \\
6 & 0 &1 &31 &90 &65 \\
7 & 0 &1 &63 &301 &350 \\
8 & 0 &1 &127 &966 &\underline{1701} \\
\end{tabular}
\begin{eqnarray*}
S_{8,4} = 1701
\end{eqnarray*}
\item
\begin{align}
S_{8,4} &+& S_{8,3} &+& S_{8,2} &+& S_{8,1} &=& \\
1701 &+& 966 &+& 127 &+& 1 &=& 2795
\end{align}
\item Freunde $\widehat{=}$ Urnen (unterscheidbar); Getränke $\widehat{=}$ Bällen (unterscheidbar).
Mindestens ein Ball pro Urne $\Rightarrow$ surjektiv.
$\Rightarrow$ $m! * S_{n,m}$ mit $n = 8$, $m = 4$.
\begin{eqnarray*}
4! * S_{8,4} &= 24 * 1701 \\
&= 40824
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{document}

64
school/di-ma/uebung/03/03_2.tex Normal file
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@ -0,0 +1,64 @@
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl} %
\def \matrikel {108018274494} %
\def \pname {Marvin Herrmann} %
\def \pmatrikel {108018265436} %
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834} %
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \uebung {3} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}
\begin{document}
%Import header
\hwsol
\section*{Aufgabe 3.2}
\begin{itemize}
\item Hilfsdiagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$ legen und damit ein relatives \enquote{Unterkoordinatensystem}
erzeugen, in dem von Punkt $(1,0)$ gestartet wird.
\item Analog zur korrekten Klammerung, muss der erste Schritt nach rechts (öffnende Klammer) und der letzte Schritt
nach oben (schließende Klammer) gehen
\item Wir betrachten die Diagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$. Hier gibt es $C_{11}$ gültige wege.
\item Weiter betrachten wir $(2,1)$ nach $(11,10)$ (was analog ist zu $(2,1)$ nach $(12,11)$, da es nur einen
gültigen Weg von $(11,10)$ nach $(12,10)$ gibt) $= C_{10}$ Wege, die man von $(3,0)$ aus \underline{nicht} gehen
kann.
\item $\Rightarrow C_{11} - C_{10} = 58786 - 16796 = 41990$
\end{itemize}
\end{document}

76
school/di-ma/uebung/03/03_3.tex Normal file
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@ -0,0 +1,76 @@
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\usepackage{paralist}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl} %
\def \matrikel {108018274494} %
\def \pname {Marvin Herrmann} %
\def \pmatrikel {108018265436} %
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834} %
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \uebung {3} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}
\begin{document}
%Import header
\hwsol
\section*{Aufgabe 3.3}
\begin{enumerate}[1.]
\item
\begin{eqnarray*}
\ln n &= o(e^{\sqrt{\ln n}}) \\
\text{Anwendung des Satz von L'Hospital:} \\
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \\
\Rightarrow &\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{1}{n}}{e^{\sqrt{\ln(n)}}
\frac{1}{2n\sqrt{\ln(n)}}} \right) \\
&= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{1}{n}n}{e^{\sqrt{\ln(n)}}\frac{n}{2n\sqrt{\ln(n)}}}
\right) \\
&= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\frac{e^{\sqrt{\ln(n)}}}{2\sqrt{\ln(n)}}} \right) \\
&= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\infty} \\
\end{eqnarray*}
da $e^{\sqrt{\ln(n)}}$ schneller wächst als $2\sqrt{\ln(n)}$
$\Rightarrow \ln n = o(e^{\sqrt{\ln n}})$
\item
\begin{eqnarray*}
e^{\sqrt{\ln n}} &= o(n^{\varepsilon}) \text{ für alle } \varepsilon \in \mathbb{R}, \varepsilon > 0 \\
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{\ln n}}}{e^{\ln(n^{\varepsilon})}} =
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{\ln n}}}{e^{\varepsilon \cdot \ln n}} = 0
\end{eqnarray*}
Gilt für alle $\varepsilon > 0$, da $\ln n$ schneller wächst als $\sqrt{\ln n}$.
$\Rightarrow e^{\sqrt{\ln n}} = o(n^{\varepsilon})$
\end{enumerate}
\end{document}

75
school/di-ma/uebung/03/03_4.tex Normal file
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@ -0,0 +1,75 @@
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{paralist}
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
\def \name {Valentin Brandl} %
\def \matrikel {108018274494} %
\def \pname {Marvin Herrmann} %
\def \pmatrikel {108018265436} %
\def \qname {Pascal Brackmann}
\def \qmatrikel {108017113834} %
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
\def \uebung {3} %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
\newcommand{\hwsol}{
\vspace*{-2cm}
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
}
\begin{document}
%Import header
\hwsol
\section*{Aufgabe 3.4}
% \begin{itemize}
% \item $o$ impliziert $O$
% \item $\omega$ impliziert $\Omega$
% \item $f = \Theta(g) \Rightarrow f = \Omega(g) \text{ und } f = O(g)$
% \item $f = O(g) \Rightarrow g = \Omega(f)$
% \item $f = o(g) \Rightarrow g = \omega(f)$
% \end{itemize}
\begin{tabular}{|l||l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\backslashbox{f}{g} & $4^n$ & $e^{2n}$ & $\sum\limits_{k=1}^n k$ & $n \ln n$ & $2^{(2^{n+1})}$ & $51^{\ln n}$ & $2^{(2^n)}$ &
$2^{\sqrt{\ln n}}$ \\\hline
$4^n$ & $\Theta$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\omega$ & $O$ & $\omega$ \\\hline
$e^{2n}$ & $\omega$ & $\Theta$ & $o$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ \\\hline
$\sum\limits_{k=1}^n k$ & $\omega$ & $\omega$ & $\Theta$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ & $\omega$ \\\hline
$n \ln n$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\Theta$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\omega$ \\\hline
$2^{(2^n)}$ & $\Omega$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $\Theta$ & $\Omega$ & $\Omega$ & $\omega$ \\\hline
$51^{\ln n}$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\Theta$ & $O$ & $\omega$ \\\hline
$2^{(2n)}$ & $\Omega$ & $o$ & $o$ & $\omega$ & $O$ & $\Omega$ & $\Theta$ & $\omega$ \\\hline
$2^{\sqrt{\ln n}}$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $o$ & $\Theta$ \\\hline
\end{tabular}
\end{document}

41
school/di-ma/uebung/03/st.py Normal file
View File

@ -0,0 +1,41 @@
#!/usr/bin/env python
def p(n,k):
if k == 0:
return 0
elif n == k or k == 1:
return 1
elif n < k:
return 0
else:
return p(n-1,k-1) + p(n-k,k)
def s(n,k):
if n == k:
return 1
elif k == 0:
return 0
elif n < k:
return 0
else:
return s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)
def S(n, k):
if n == k:
return " S_{" + n + "," + k + "} "
# return 1
elif k == 1:
return " S_{" + n + "," + k + "} "
# return 1
elif k == 0:
return " S_{" + n + "," + k + "} "
# return 0
elif n < k:
return " S_{" + n + "," + k + "} "
# return 0
else:
return " S_{" + str(n-1) + "," + str(k-1) + "} + " + str(k) + " * S_{" + str(n-1) + "," + str(k) + "} "
# return S(n-1,k-1) + k * S(n-1,k)
print(S(5,3))
# print(p(10,4))

22
school/di-ma/uebung/03/tmp Normal file
View File

@ -0,0 +1,22 @@
12 → \item Hilfsdiagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$ legen und damit ein
↪relatives \enquote{Unterkoordinatensystem}¬
11 → → erzeugen, in dem von Punkt $(1,0)$ gestartet wird.¬
10 ¬
9 → \item Analog zur korrekten Klammerung, muss der erste Schritt nach rechts
↪(öffnende Klammer) und der letzte Schritt¬
8 → → nach oben (schließende Klammer) gehen¬
7 ¬
6 → \item Wir betrachten die Diagonale von $(1,0)$ nach $(12,11)$. Hier gibt es
↪$C_{11}$ gültige wege.¬
5 ¬
4 → \item Weiter betrachten wir $(2,1)$ nach $(11,10)$ (was analog ist zu $(2,
↪1)$ nach $(12,11)$, da es nur einen¬
3 → → gültigen Weg von $(11,10)$ nach $(12,10)$ gibt) $= C_{10}$ Wege, die man
↪von $(3,0)$ aus \underline{nicht} gehen¬
2 → → kann.¬
1 ¬
59 → \item $\Rightarrow C_{11} - C_{10} = 58786 - 16796 = 41990$¬
1 ¬
2 ¬
3 \end{itemize}¬