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title: Gerichtete Graphen
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date: 2018-11-07
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**Beispiel**: 
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$G = (V,E)$
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* $V$ endliche Menge
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* $E \subseteq V \times V$
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Kanten in $G$ bestehen aus $(u,v)$ mit $u,v \in V, u \neq v$. $u$ heißt
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Startknoten, $v$ heißt Endknoten der Kante $(u,v)$. Vorstellung: Laufen im
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Graph nur in der richtigen Richtung. Kanten sind "Einbahnstraßen".
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Für gerichtete Graphen definieren wir: $G=(V,E), u\in V$
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* $outdeg(u) = |\{v \in V | (u,v) \in E\}|$
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* $indeg(u) = |\{v \in V | (v,u) \in E\}|$
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Beispiel von oben:
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* $outdeg(1) = 1$, $indeg(1) = 2$
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* $outdeg(4) = 1$, $indeg(4) = 0$
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# Pfade, Wege, Kreise (gerichtet)
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Definiert man analog zum ungerichteten Fall mit der Einschränkung, das Knoten
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eines Pfades/Weges/Kreises in der richtigen Richtung verbunden sind.
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**Beispiel**: Pfad
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*Gegeben*: $G=(V,E)$ gerichteter Graph.
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Ein Pfad $p$ ist ein Tupel $(v_0,...,v_{l-1})$ mit $v_i \in V$ und $(v_i,
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v_{i+1}) \in E, \forall i \in \{0,...,l-2\}, v_i \neq v_j, \forall i \neq j$.
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$p$ heißt $v_0v_{l-1}$-Pfad. Existenz eines Pfades von $u$ nach $v$ ($u,v \in
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V$) bezeichnen wir mit $u \rightsquigarrow v$.
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**Beispiel**: (wie oben)
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* $(1,2,3,1,2)$ ist Weg
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* $(4,1,2)$ ist Pfad
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* $(2,3,1)$ ist Kreis
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# Definition (Zusammenhang)
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Sei $G=(V,E)$ gerichteter Graph und $u,v \in V$ Knoten. $u$ und $v$ heißen
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stark zusammenhängend, falls es einen gerichteten $uv$-Pfad und einen
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gerichteten $vu$-Pfad gibt, d.h. falls $u \rightsquigarrow v$ und $v
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\rightsquigarrow u$
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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**Beispiel**: (von oben)
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* 1 und 3 sind stark zusammenhängend
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* 1 und 4 sind nicht stark zusammenhängend (kein Pfad von 1 nach 4)
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**Bemerkung**: stark zusammenhängend ist Äquivalenzrelation. Die Untergraphen,
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die den Äquivalenzklassen entsprechen, heißen **(starke)
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Zusammenhangskomponenten**.
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Ein gerichteter Graph $G$ heißt stark zusammenhängend, falls $G$ nur eine
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Zusammenhangskomponente hat.
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