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title: Eulertouren
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date: 2018-11-21
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**Frage**: Gibt es einen Rundweg, auf dem man jede Brücke genau einmal
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überquert?
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Entspricht der Frage, ob es in dem Graph (der leider kein Graph in unserem
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Sinne ist) einen Weg gibt, der
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i) jede Kante enthält
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i) Start- und Endknoten gleich sind
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# Definition (Eulertour)
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Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph.
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i) Eine **Eulertour** in $G$ ist ein Weg, der jede Kante genau einmal
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durchläuft und bei dem Start- und Endknoten gleich sind
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i) Ein Graph, der eine Eulertour enthält, heißt **eulersch**
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**Beispiel**:
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a)  ist eulersch, da
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$(1,4,3,2,6,4,5,2,1)$ eine Eulertour ist
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a)  enthält zwar einen Weg, der
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alle Kanten genau einmal besucht, aber **keine** Eulertour $\Rightarrow$ nicht
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eulersch.
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Warum nicht eulersch?
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Betrachte Knoten $1$, $deg(1) = 3$
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1) Falls $1$ Startknoten ist, dann kann $1$ nicht Endknoten sein, da es
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keine nicht benutzte Kante mehr gibt, die zu $1$ hinführt, nachdem $1$
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2-mal besucht wurde
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2) Falls $1$ nicht Startknoten, dann endet die Tour entweder in $1$ oder
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eine zu $1$ inzidente Kante wird nicht besucht
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$\Rightarrow$ Falls $G$ eulesch gilt $2 | deg(v), \forall v \in V$
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Diese Bedingung ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.
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# Satz
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Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph. Dann ist $G$ eulersch, genau dann,
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wenn $2 | deg(v), \forall v \in V$ ($deg(v)$ ist gerade).
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# Beweis
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"$\Rightarrow$" siehe oben
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"$\Leftarrow$" Sei $G=(V,E)$ ein zusammenhängender Graph mit $2 | deg(v),
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\forall v \in V$. Wir müssen zeigen, dass $G$ eine Eulertour enthält. Wir
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konstruieren diese wie folgt:
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* wähle einen beliebigen Knoten $v_0 \in V$ und setzen $W_0 = (v_0)$, $i
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\leftarrow 0$
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* solange (es gibt noch eine Kante, die in $W_i$ nicht besucht wurde)
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i) wähle Knoten $v_k \in W_i$, der zu einer Kante $\{v_k,u\}$ inzident ist,
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die noch nicht besucht wurde
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i) konstruiere einen Weg $W' = (v_k, u=u_0,u_1,...,u_s,v_k)$ aus Kanten,
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die in $W_i$ noch nicht benutzt wurden und der wieder in $v_k$ endet
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i) setze $W_{i+1}$ auf den aus $W_i$ und $W'$ zusammengesetzten Weg, d.h.
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für $W_i = (v_0,...,v_0)$ setze $W_{i+1} =
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(v_0,...,v_k,u_0,...,u_s,v_k,v_{k-1},...,v_0)$
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i) setze $i \leftarrow i + 1$
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Der Algorithmus ist korrekt, denn
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i) bei Terminierung ist $W_i$ eine Eulertour
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i) Der Weg $W'$ kann immer konstruiert werden, da
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a) Die Anzahl der besuchten Kanten in $W_i$ ist für jeden Knoten gerade. Da
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$deg(v)$ gerade ist, ist auch die Anzahl der nicht besuchten Kanten pro
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Knoten gerade
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a) Daher können wir aus jedem besuchten Knoten in $W'$ weiterlaufen, bis
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wir wieder in $v_k$ landen.
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$$
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\tag*{$\Box$}
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$$
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**Beispiel**: 
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* starte mit $(1)$
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* dann $W' = (1,3,2,1)$, $W_1 = (1,3,2,1)$
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* dann $W' = (2,4,5,2)$, $W_2 = (1,3,2,4,5,2,1)$
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* dann $W' = (3,5,6,4,3)$
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$\Rightarrow$ $W_3 = (1,3,5,6,4,3,2,4,5,2,1)$ als Eulertour in $G$.
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**Laufzeit**: $O(|E|)$
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