notes/school/di-ma/20181030_1-catalanzahlen.md

title	date
Catalanzahlen	2018-10-30

Wir wollen 3 scheinbar verschiedene Objekte zählen:

a) Korrekte Klammerung b) Binäre Wurzelbäume c) Triangulierungen eines konvexen n-Ecks

Korrekte Klammerung

Syntaktisch korrekte Klammerung mit n Klammerpaaren. Die Anzahl dieser Klammerungen bezeichnen wir mit $C_n$ (Catalanzahlen).

Syntaktisch korrekt:

i) Alle Klammern müssen geschlossen werden ii) Keine Klammer darf geschlossen werden, bevor sie geöffnet wurde

Beispiel:

((()())) ist eine korrekte Klammerung mit n = 4 Klammerpaaren

())( ist keine korrekte Klammerung

• n = 0 leere Klammerung

  C_0 = 1

• n = 1 ()

  C_1 = 1

• n = 2 ()() oder (())

  C_2 = 2

• n = 3 ()()(), ()(()), (())(), ((())), (()())

  C_3 = 5

Binäre Wurzelbäume

Binäre Wurzelbäume mit mindestens einem Konten bestehen aus einem ausgezeichneten Knoten (Wurzel). Jeder Knoten hat maximal 2 Kindknoten, wobei wir linken und rechten Kindknoten unterscheiden. Wir bezeichnen mit B_n die Anzahl der binären Wurzelbäume mit n Knoten.

Beispiel