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title: Binomialkoeffizient
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date: 2018-10-10
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# Wiederholung
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$n$ Elemente, $k$ mal ziehen:
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--- | geordnet | ungeordnet
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:---: | :---: | :---:
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mit zurücklegen | $n^k$ | $\binom{n+k-1}{k}$
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ohne zurücklegen | $n^{\underline{k}}$ | $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$
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## Beispiel a
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**Frage**: Wie viele 10-elementige Teilmengen von der 100-elementigen Menge $M = \{1,2,...100\}$
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1. gibt es?
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2. die entweder die 1 oder die 2 enthalten gibt es?
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### Zu 1)
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$$
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\binom{100}{10}
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$$
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### Zu 2)
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Zwei Teile:
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* Die Anzahl der 10 elementingen Teilmengen, die 1 aber nicht 2 enthalten
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* Die Anzahl der 10 elementingen Teilmengen, die 2 aber nicht 1 enthalten
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In beiden Fällen gibt es $\binom{98}{9}$ Möglichkeiten.
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Die Fälle sind disjunkt $\Rightarrow$ es gibt $2 \cdot \binom{98}{9}$ Möglichkeiten
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## Beispiel b
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Wahl mit 100 Wahlberechtigten und 2 Kandidaten. Jede Stimme hat 4 Möglichkeiten (Kandidat 1, Kandidat 2, enthalten oder
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ungültig).
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**Frage**: Wie viele Ergebnisse kann es geben?
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Dies entspricht der Anzahl der 100 elementigen Multimengen einer 4-elementigen Menge
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$$
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\binom{100+4-1}{100} = \binom{103}{100} = 353702
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$$
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# Eigenschaften von Binomialkoeffizienten
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**Satz**: Seien $n, k \in \mathbb{N}$ $k \leq n$ dann gilt
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1. $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
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2. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$
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3. $\binom{n}{k} = \sum\limits^k_{l=0} \binom{n}{l} \cdot \binom{n}{k-l}$
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4. $(a+b)^n = \sum\limits^n_{k=0} \binom{n}{k} \cdot a^k \cdot b^{n-k}$
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## Beweis
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Wir wollen kombinatorische Beweise geben. Wir zählen auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Objekte aber auf
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verschiedene Weise.
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**zu 1)** Sei $M$ eine $n$-elementige Menge
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* $\binom{n}{k}$ zählt die $k$-elementigen Teilmengen von $M$
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* $\binom{n}{n-k}$ zählt die $(n-k)$-elementigen Teilmengen von $M$
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Wir betrachten die Abbildung
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$$
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f: \text{Teilmenge von M} \to \text{Teilmenge von M} \\
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f(A) = M \setminus A = \{x \in M \mid x \notin A\} = A^{\mathrm{C}}
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$$
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Es gilt:
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1. $\vert A \vert = k \Rightarrow \vert f(A) \vert = n-k$
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2. $f$ ist bijektiv (die Umkehrabbildung ist $f$ selbst)
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Damit folgt aus dem Gleichheitsprinzip
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$$
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\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
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$$
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**zu 2)** Sei $M = \{1, ... n\}$ und $\mathbb{T} = \{A \subseteq M \mid \vert A \vert = k\}$
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Es gilt $\vert\mathbb{T}\vert = \binom{n}{k}$
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Wir teilen die Menge $\mathbb{T}$ auf in zwei disjunkte Teile
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$$
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\mathbb{T}_1 = \{ A \subseteq M \mid \vert A \vert = k, n \notin A\} \\
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\mathbb{T}_2 = \{ A \subseteq M \mid \vert A \vert = k, n \in A\}
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$$
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Dann gilt (Summenregel)
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$$
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\binom{n}{k} = \vert \mathbb{T} \vert = \vert \mathbb{T}_1 \vert + \vert \mathbb{T}_2 \vert
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$$
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* $\vert \mathbb{T}_1 \vert = \binom{n-1}{k}$, denn Elemente aus $\mathbb{T}_1$ entsprechen $k$-elementigen Teilmengen
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aus $M^\prime = \{1,... n-1\}$
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* $\vert \mathbb{T}_2 \vert = \binom{n-1}{k-1}$, denn für jedes $A \in \mathbb{T}_2$, d.h.
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$A \subseteq M, \vert A \vert = k$ und $n \in A$ betrachte
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$$
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A^\prime = A \setminus \{n\}
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$$
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$A^\prime$ ist eine $(k-1)$-elementige Teilmenge von $M^\prime = \{1,... n-1\}$
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**zu 3)** Seien $A$, $B$ Mengen mit $\vert A \vert = n$ und $\vert B \vert = m$ mit $A \cap B = \emptyset$ (disjunkt)
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$\binom{n+m}{k}$ ist die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen von $A \dot\cup B$ ($\vert A \dot\cup B \vert = n + m$).
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Wir teilen die $k$-elementigen Teilmengen von $A \dot\cup B$ in $k+1$ disjunkte Fälle auf
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** hier wäre ein Venn Diagramm. Mach das mal
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**Fall l** (für $l \in \{0,...k\}$)
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Betrachte die $k$-elementigen Teilmengen $S$ von $A \cup B$, so dass $\vert A \cap S \vert = l$
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($\Leftrightarrow \vert B \cap S \vert = k - l$), d.h. wir betrachten die Anzahl der $l$-elemeniigen Teilmengen von $A$
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und der $(k-l)$-elementigen Teilmenge von $B$.
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Mit der Produktregel ergeben sich $\binom{n}{l} \cdot \binom{m}{k-l}$.
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Mit der Summenformel ergibt sich
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$$
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\binom{n+m}{k} = \sum\limits^k_{l=0} \binom{n}{l} \cdot \binom{m}{k-l}
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$$
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**zu 4)**
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$$
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(a+b)^n = (a+b) \cdot (a+b) \cdot ... (a+b)
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$$
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Beim Ausmultiplizieren "entscheiden" wir uns für jede der $n$ Klammern for $a$ oder $b$. Für einen Term
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$a^k\cdot b^{n-k}$ wählen wir aus den $n$ Klammern genau $k$-mal das $a$. Damit haben wir genau $\binom{n}{k}$
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Möglichkeiten den Term $a^k \cdot b^{n-k}$ zu erhalten.
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# Kombinatorische Prinzipien
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## Schubfachprinzip
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**Beispiel**: Wir haben 9 Schubladen und 10 Objekte, die wir auf die Schubladen verteilen wollen. Dann gibt es eine
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Schublade, in der mindestens 2 Objekte landen.
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### Satz
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Seien $X$, $Y$ endliche Mengen mit $\vert X \vert \geq \vert Y \vert + 1$ und $f: X \to Y$ eine Abbildung dann
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$$
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\exists y \in Y \text{ so dass } \vert f^{-1}(y) \vert = \vert \{x\in X \mid f(x) = y\} \vert \geq 2
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$$
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### Beweis
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Statt $A \Rightarrow B$ zeigen wir $\lnot B \Rightarrow \lnot A$
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Sei $f: X \to Y$ gegeben so dass $\forall y \in Y$ gilt $\vert f^{-1}(y) \vert \leq 1$, dann gilt
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$$
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\vert X \vert = \sum\limits_{y \in Y} \vert f^{-1}(y) \vert \leq \sum\limits_{y \in Y} 1 = \vert Y \vert
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$$
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Allgemeiner gilt: Seien $X$, $Y$ endliche Mengen und $f: X \to Y$ eine Abbildung, dann $\exists y \in Y$ so dass
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$$
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\vert f^{-1}(y) \vert \geq \left\lceil \frac{\vert X \vert}{\vert Y \vert} \right\rceil
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$$
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($\lceil \cdot \rceil$ ist die obere Gaussklammer, das heißt die kleinste natürliche Zahl größer als $x$).
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**Beispiel 1**: *Gegeben*: $n$ Personen $1,...n$ mit Bekanntschaftsrelationen, darstellbar als Graph mit Personen als
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Konten und Kanten zwischen Knoten, falls sich die Personen kennen.
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* 1 kennt 4 Personen
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* 2 kennt 2 Personen
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* 3 kennt 3 Personen
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* 4 kennt 2 Personen
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* 5 kennt 3 Personen
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Es gibt (mindestens) 2 Personen, die die gleiche Anzahl von Personen kennen. Dies gilt **immer**.
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### Satz
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Unter $n$ Personen gibt es immer mindestens 2, die die selbe Anzahl von Personen kennen.
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### Beweis
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Wir wollen das Schubfachprinzip nutzen. Für die Personen $P = \{1, ... n\}$ betrachte die Abbildung
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$f: P \to \{0, ... n-1\}$, die jeder dieser Personen die Anzahl der Personen, die sie kennt, zuweist.
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Problem: $\vert P \vert = n = \vert \{1, ... n\} \vert$
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Betrachte 2 Fälle:
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1. Es gibt eine Person, die niemanden kennt, das heißt $\exists i \in P$ so dass $f(i) = 0$. Dann gilt
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$\forall j \in P \neq n - 1$ da "kennen" symmetrisch ist. Damit ist $f(P) \subseteq \{0, ... n-2\}$ und das
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Schubfachprinzip ist anwendbar.
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2. Es gibt keine Person, die niemanden kennt, dann $f(P) \subseteq \{1, ... n-1\}$ und auch hier ist das
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Schubfachprinzip anwendbar.
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$$
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\Box
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**Beispiel 2**: In Bochum wohnen ca $350000$ Menschen, jeder Mensch hat zwischen $0$ und $150000$ Kopfhaare.
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$\Rightarrow$ es gibt mindestens 2 Menschen in Bochum mit der gleichen Anzahl Haare.
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