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Kombinatorische Prinzipien	2018-10-16

Inklusion-Exklusion-Prinzip (Verallgemeinerung der Summenformel)

Gegeben: S_1, ... S_n paarweise disjunkte Mengen, dann gilt

\vert \bigcup\limits_{i=1}^n S_i \vert = \sum\limits_{i=1}^n \vert S_i \vert

Warum? Jedes Element der Vereinigung liegt in genau einer Teilmenge.

Frage: Was passiert, falls S_i nicht disjunkt sind?

Beispiel: n=2, zwei endliche Mengen A_1, A_2 mit A_1 \cap A_2 \neq \emptyset

Hier könnte Ihr Venn Diagramm stehen (zwei sich schneidende Mengen)

Dann gilt

\vert A_1 \cup A_2 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert - \vert A_1 \cap A_2 \vert

Wir müssen die Größe des Schnittes abziehen, da diese Elemente doppelt gezählt werden.

Beispiel: n=3, A_1, A_2, A_3 endliche Mengen

Hier könnte wieder ein Venn Diagramm stehen (drei sich schneidende Meingen)

Dann gilt

\vert A_1 \cup A_2 \cup A_3 \vert = \vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert + \vert A_3 \vert - \vert A_1 \cap A_2 \vert  -
	\vert A_1 \cap A_3 \vert - \vert A_2 \cap A_3 \vert + \vert A_1 \cap A_2 \cap A_3 \vert

Allgemein gilt:

Satz: (Inklusion-Exklusion-Prinzip, Siebformel)

Seien A_1, ... A_n endliche mengen, dann gilt:

\vert \bigcup\limits_{i=2}^n A_i \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1}
	\sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert

\tag*{$\Box$}

Beispiel: n=2 anhand der Formel

\vert \bigcup\limits_{i=1}^2 A_i \vert = \vert A_1 \cup A_2 \vert =\\
= \sum\limits_{r=1}^2 (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}}
	\vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert \\
= (-1)^0 (\vert \bigcap\limits_{i \in \{1\}} A_i \vert + \vert \bigcap\limits_{i \in \{2\}} A_i \vert)
	+ (-1)^1 (\vert \bigcap\limits_{i \in \{1,2\}} A_i \vert) \\
= (\vert A_1 \vert + \vert A_2 \vert) - \vert A_1 \cap A_2 \vert

Beweis

Sei a \in \bigcup\limits_{i=1}^n. Wir müssen zeigen, dass dieses Element a auf der rechten Seite der Gleichung insgesamt einmal gezählt wird. Ohne Einschränkung sei

a \in A_i \text{ für } i \in \{1,...t\}

dann gilt für I \subseteq \{1,...n\}

a \in \bigcap\limits_{i \in I} A_i \text{ genau dann, wenn } I \subseteq \{1,...t\}

Damit folgt: a wird auf der rechten Seite

\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...t\}\\\vert I \vert = r}} 1

mal gezählt. Es gilt

\sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...t\}\\\vert I \vert = r}} 1 = \binom{t}{r}

und damit

\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \binom{t}{r} = \sum\limits_{r=1}^t (-1)^{1-r} \binom{t}{r}

Es gilt weiterhin

0 = (-1+1)^t = \sum\limits_{r=0}^t \binom{t}{r} (-1)^r (1)^{t-r} = \\
= 1 + \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^r \\
= 1 - \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^{r-1} \\
\Rightarrow \sum\limits_{r=1}^t \binom{t}{r} (-1)^{r-1} = 1

\tag*{$\Box$}

Beispiel:

1. Frage: Wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch 2 oder 3 oder 5 teilbar?

   Sei A_k = \{x \in \{1,...100\} \mid k \text{ teilt } x \}, dann gilt \vert A_k \vert = \left\lfloor \frac{100}{k} \right\rfloor und

    
   _k \cap A_l = A_{\text{kgV}(k,l)}
   

   $

   Wir müssen \vert A_2 \cup A_3 \cup A_5 \vert bestimmen. Nach Formel

    
   vert A_2 \cup A_3 \cup A_5 \vert = \\
   vert A_2 \vert + \vert A_3 \vert + \vert A_5 \vert
    \vert A_2 \cap A_3 \vert - \vert A_2 \cap A_5 \vert - \vert A_3 \cap A_5 \vert
    \vert A_2 \cap A_3 \cap A_5 \vert =\\
    50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = \\
    74
   

   $

2. Frage: Wie viele Permutationen \pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\} gibt es, die keinen Fixpunkt haben, d.h. \forall x \in \{1,...n\} gilt \pi(x) \neq x?

   Wir zählen stattdessen die Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Wir definieren A_i = \{\pi : \{1,...n\} \to \{1,...n\} \mid \pi(i) = i \} für i \in \{1,...n\}, d.h. A_i ist die Menge aller Permutationen mit Fixpunkt i.

   Die Menge aller Permutationen mit mindestens einem Fixpunkt ist E_n = \bigcup_{i=1}^n A_i und es gilt

    
   vert E_n \vert = \vert \bigcup\limits_{i=1}^n A_i \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1}
   \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}} \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert
   

   $

   Permutationen in \vert \bigcap\limits_{i \in I} A_i \vert für I \subseteq \{1,...n\} mit $\vert I \vert = r$ haben r Fixpunkte in i \in I. Davon gibt es (n-r)! viele Permutationen (Fixpunkte fest; für den ersten nicht-Fixpunkt (n-r) Möglichkeiten, für den zweiten nicht-Fixpunkt (n-r-1) Möglichkeiten, ...). Damit folgt

    
   vert E_n \vert = \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \sum\limits_{\substack{I \subseteq \{1,...n\}\\\vert I \vert = r}}
   (n-r)! = \\
    \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} (n-r)! \binom{n}{r} \\
    \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \frac{n!}{r!} = n! \left (\sum\limits_{r=1}^n \frac{(-1)^{r-1}}{r!} \right )
   

   $

   Sei D_n die Menge der Permutationen, die keinen Fixpunkt haben, dann gilt

    
   vert D_n \vert = n! - \vert E_n \vert = n! \left ( 1 - \sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r-1} \frac{1}{r!} \right ) = \\
    n! \left ( 1 + \sum\limits_{r=1}^n (-1)^r \frac{1}{r!} \right ) = \\
    n! \left ( \sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} \right )
   

   $

\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Permutation keinen Fixpunkt hat.

n \to \infty \\
\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} \to e^{-1}

Doppeltes Abzählen

Seien S, T endliche Mengen und R \subseteq S \times T, dann gilt

|R| = \sum\limits_{t \in T} | \{s\in S \mid (s,t) \in R\} | = \text{ "Zeilensumme"} \\
\sum\limits_{s\in S} |\{t\in T \mid (s,t) \in R\} | \text{ "Spaltensumme"}

Beispiel: Gegeben seien eine (n \times m) Matrix M = (a_{ij}) mit a_{ij} \in \mathbb{N}, dann kann man die Summe aller Einträge berechnen als

\sum\limits_{i=1}^m \left ( \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} \right ) =
\sum\limits_{j=1}^n \left ( \sum\limits_{i=1}^m a_{ij} \right )