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| Transitive Hülle | 2018-11-07 |
Gegeben eine endliche Menge V und eine Relation R auf V, d.h. $R
\subseteq V \times V$.
Zwei Elemente u,v \in V stehen in Relation, falls (u, v) \in R.
Frage: Wie findet man die kleinste transitive Hülle von R^+ mit $R
\subseteq R^+$?
R^+ heißt transitive Hülle von R.
Als Graphenproblem:
Wir modellieren "in relation stehen" durch Kanten
Definition (Transitive Hülle)
Sei G=(V,E) ein gerichteter Graph. Der Graph G^+ = (V,E^+) mit $E^+ = {
(v,b) | u,v \in V, (u \rightsquigarrow v) \in G }$ heißt transitive Hülle
von G.
Beispiel: 
ist die transitive Hülle von
obigem Graph.
Algorithmus (Berechnen der Transitiven Hülle; Warshall)
Für einen gerichteten Graphen G=(V,E) mit V=\{1,...,n\} betrachte die
Adjazenzmatrix von G definiert als $A[i,j] = \begin{cases}
1 & (i,j) \in E \
0 & (i,j) \notin E
\end{cases}$
Bemerkung: A ist im allgemeinen nicht mehr symmetrisch (anders als bei
ungerichteten Graphen).
Idee: Ausgehend von A schrittweise die Adjazenzmatrix der transitiven
Hülle zu berechnen.
Für k \in \{0, ..., n\} definieren wir Matrizen T_k rekursiv als
$T_k[i,j] = \begin{cases}
1 & \text{falls es einen $i$-$j$-Pfad mit Zwischenknoten aus } {1, ...,
k} \text{ gibt} \
0 & \text{sonst}
\end{cases}$.
Dann gilt T_0 = A (Adjazenzmatrix) und T_n ist die Adjazenzmatrix der
transitiven Hülle
Wir wollen T_k rekursiv aus T_{k-1} berechnen (für k \geq 1). Es gilt
T_k[i,j] = max \{ T_{k-1}[i,j], T_{k-1}[i,k] \cdot T_{k-1}[k,j] \}, d.h.
T_k[i,j] = 1 genau dann, wenn T_{k-1}[i,j] = 1 oder T_{k-1}[i,k] = 1 und
T_{k-1}[k,j] = 1.
Die $i$-$j$-Pfade mit Zwischenknoten aus \{1,...,k\} zerfallen in 2 Fälle:
i) $i$-$j$-Pfade mit Zwischenknoten aus ${1,...,k-1}$
i) $i$-$j$-Pfade, die den Knoten k als Zwischenknoten enthalten
Pfade im Fall
i) gibt es, falls $T_{k-1}[i,j] = 1$
i) gibt es, falls T_{k-1}[i,k] = 1 und T_{k-1}[k,j] = 1
Algorithmus im Pseudocode
Eingabe: Adjazenzmatrix A von G=(V,E) (gerichteter Graph)
Ausgabe: Adjazenzmatrix der transitiven Hülle
i) $W = A$
i) for k in \{1,...,n\} do
`for` $i$ `in` $\{1,...,n\}$ `do`
`for` $j$ `in` $\{1,...,n\}$ `do`
$W[i,j] = max \{ W[i,j], W[i,k] \cdot W[k,j] \}$
i) Ausgabe W
Laufzeit: O(n^3)
Korrektheit: Basiert auf Rekusionsformel von oben und der Bemerkung
T_{k-1}[i,k] = T_k[i,k] und T_{k-1}[k,j] = T_k[k,j].
Dies gilt, da Pfade mit Startknoten i und Endknoten k und Zwischenknoten
aus \{1, ..., k-1\} sind (in Pfaden gibt es keine Kotenwiederholungen).
Algorithmus ist Beispiel für dynamische Programmierung, dazu später mehr.