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| title | date |
|---|---|
| Planare Graphen | 2018-11-21 |
Frage: Welche Graphen kann man besonders "schön" zeichnen?
Genauer: Welche Graphen kann man so zeichnen, dass sich keine Kanten schneiden?
Definition (Planarer Graph)
Ein Graph G=(V,E) heißt planar, falls er so in die Ebene eingebettet werden
kann, dass sich keine Kanten schneiden.
Beispiel:
i) K_3 
ist planar
i) K_4 
ist planar
i) K_5 
ist nicht planar
Bemerkungen:
i) Planar ist Eigenschaft des Graphen, nicht der Einbettung (Auch planare Graphen können nicht planar Gezeichnet werden)
i) Zu zeigen, dass ein Graph nicht planar ist, ist (erstmal) nicht so einfach
Weitere Beispiele:
Vollständige bipartite Graphen K_{n,m}=(V,E) bestehen aus 2 disjunkten
Knotenmengen V_1, V_2 mit |V_1| = n, |V_2| = m und $V = V_1 \biguplus V_2$
wobei E = \{ \{u,v\} | u \in V_1, v \in V_2 \}
i) K_{2,3}: 
ist planar (\{1,4\} und
\{1,5\} außen zeichnen)
i) K_{3,3}: 
ist nicht planar
Wir betrachten als nächstes die Gebiete/Flächen in die die planare Einbettung eines planaren Graphen die Ebene unterteilt.
Beispiel:
i) K_3 unterteilt die Ebene in 2 Flächen (eine innere und eine äußere)
i) K_4 unterteilt die Ebene in 4 Flächen
i) K_{2,3} unterteilt die Ebene in 3 Flächen
Die Anzahl der Flächen/Gebiete ist unabhängig von der genauen planaren Einbettung.
Satz (Eulersche Polyederformel)
Sei G=(V,E) ein zusammenhängender planarer Graph. Sei f die Anzahl der
Gebiete einer planaren Einbettung von G. Dann gilt f = |E| - |V| + 2
Beweis (Eulersche Polyederformel)
(per Induktion über |E|)
Induktionsanfang: Da G zusammenhängend gilt |E| \geq |V| - 1. Daher
Induktionsanfang für |E| = |V| - 1. Damit ist G ein Baum und die Anzahl der
Gebiete f ist 1 (1 äußeres, 0 innere). Es gilt
\begin{align*}
1 = f &= |E| - |V| + 2 \\
&= (|V| - 1) - |V| + 2 = 1
\end{align*}
Induktionsschritt: Sei nun |E| > |V| - 1. Dann enthält G einen Kreis
und sei c = \{u,v\} \in E eine Kreiskante. Betrachte $G' = (V, E \setminus
{c})$. Dann gilt (nach Induktionsanfang):
i) $f' = |E'| - |V| + 2 = (|E| - 1) - |V| + 2$
i) f' = f - 1 da durch Wegnahme von c zwei Gebiete von G zusammenfallen
\Rightarrow f - 1 = f' = |E| - |V| + 1
\Rightarrow f = |E| - |V| + 2
\tag*{$\Box$}
Verallgemeinerung des obigen Satzes:
Satz
Sei G=(V,E) ein planarer Graph mit k Zusammenhangskomponenten. Sei f die
Anzahl der Gebiete eines planaren Diagrammes, dann gilt
f = |E| - |V| + k + 1
Beweis
Seien G_i = (V_i,E_i), i \in \{1,...,k\} die Zusammenhangskomponenten von
G. Dann gilt
\begin{align*}
V &= \biguplus\limits_{i \in \{1,...,k\}} V_i \\
E &= \biguplus\limits_{i \in \{1,...,k\}} E_i
\end{align*}
Sei f_i die Anzahl der Gebiete von G_i, dann gilt
i) f_i = |E_i| - |V_i| + 2 (Satz von oben, Zusammenhangskomponenten sind
zusammenhängend)
i) f = \sum\limits_{i=1}^k f_i - (k-1), da wir in $\sum\limits_{i=1}^k f_i$
das äußere Gebiet $k$-mal gezählt haben.
\begin{align*}
\Rightarrow f &= \sum\limits_{i=1}^k (|E_i| - |V_i| - 2) - (k-1) \\
&= \sum\limits_{i=1}^k |E_i| - \sum\limits_{i=1}^k |V_i| + 2k -(k-1) \\
&= |E| - |V| + k + 1
\end{align*}
\tag*{$\Box$}
Der folgende Satz zeigt, dass planare Graphen für gegebenes |V| nicht zu viele
Kanten haben können.
Satz
Sei G=(V,E) planar mit |V| \geq 3. Dann gilt |E| \leq 3 |V| - 6
Beispiel
K_5 hat |V|=5 Knoten und $|E|=\binom{5}{2} = \frac{5\cdot 4}{2} = 10$
Kanten und es gilt 3 * |V| - 6 = 9 < 10 = |E|
\Rightarrow K_5 ist nicht planar
Beweis
Sei ohne Einschränkung G=(V,E) zusammenhängend. Seien R_1,...,R_f die
Gebiete eines planaren Diagrammes von G und E = \{ e_1,...e_m \} die
Kanten. Betrachte folgende Matrix:
A = a_{i,j} = \begin{cases}
1 & \text{falls } e_i \text{ das Gebiet } R_i \text{ berandet} \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
Dann gilt
i) Zeilensummen sind $\leq 2$
i) Spaltensummen sind \geq 3
Doppeltes Abzählen liefert ef \leq 2 |E|
\Rightarrow f = \frac{2}{3} |E| und da f = |E| -|V|+2 gibt, folgt
\Rightarrow |E|-|V|+2 \leq \frac{2}{3} |E|
\Rightarrow \frac{1}{3}|E| \leq |V|-2
\Rightarrow |E| \leq 3 |V| -6
\tag*{$\Box$}
Für K_{3,3} reicht der Satz nicht aus, denn |V| = 6 und |E|=9 und
3|V|-6=12>9=|E|. Aus dem Satz folgt nicht, dass K_{3,3} nicht planar ist.
Aber es stimmt trotzdem.
Erweiterung des Satzes
Sei G ein planarer Graph, der keinen Kreis der Länge 3 enthält. Dann gilt
|R| \leq 2|V| -4
In diesem Fall wird dieses Gebiet von mindestens 4 Kanten umrandet. Der Beweis folgt dann analog zu oben.
K_{3,3} enthält keinen Kreis der Länge 3 und $2|V| - 4 = 2 \cdot 6 - 4 = 8 <
9 = |E|$.
\Rightarrow K_{3,3} ist nicht planar.
Korollar
K_5 und K_{3,3} sind nicht planar.
a) Im wesentlichen sind das alle. Klar ist, dass jeder Graph G=(V,E), der
K_5 oder K_{3,3} als Teilgraph enthält nicht planar ist. Denn jeder
Teilgraph eines planaren Graphen ist planar
a) Unterteilungen eines Graphen G=(V,E) entstehen durch ersetzen einer
Kante durch einen Pfad (und entsprechend Einfügen von neuen Knoten).
**Beispiel**: $K_4$ 
Unterteilungen des $K_5$ und $K_{3,3}$ sind nicht planar.
**Allgemein**: Unterteilungen von nicht planaren Graphen sind nicht planar
(und umgekehrt).
Diese beiden Punkte a) und b) zusammen mit K_5 und K_{3,3} nicht planar
charakterisieren alle nicht planaren Graphen (ohne Beweis)
Satz (Nicht-planar)
Sei G=(V,E) ein Graph. G ist nicht-planar genau dann, wenn G eine
Unterteilung des K_5 oder K_{3,3} als Teilgraph enthält
"$\Leftarrow$" haben wir gezeigt
"$\Rightarrow$" schwer
Bemerkung
Es gibt Algorithmen, die in Laufzeit $O(|V|+|E|)§ entscheiden, ob $G=(V,E)$
planar ist, oder nicht, und die, falls G planar ist, ein planares Diagramm
von G berechnen
Das folgende Korollar werden wir später nutzen
Korollar
$Sei G=(V,E) ein planarer zusammenhängender Graph. Dann gibt es ein $v \in V$
mit deg(v) \leq 5
Beweis
Für |V| < 3 ist diese Aussage trivial. Sei also |V| \geq 3 und $d =
\min\limits_{v \in V} deg(v)$. Dann gilt
\begin{align*}
d * |V| \leq \sum\limits_{v \in V} deg(v) = 2*|E| &\leq 2 * (3 * |V| - 6) \\
&= 6 * |V| - 12 \\
&< 6*|V|
\end{align*}
\Rightarrow d < 6 \Rightarrow \exists v \in V: deg(v) < 6
\tag*{$\Box$}