2.4 KiB
| title | date |
|---|---|
| Bäume | 2018-11-06 |
Bäume sollen zusammenhängende Graphen sein. Mit minimaler Anzahl von Kanten bei
gegebener Knotenmenge, d.h. |E| = |V| - 1. Solche Graphen können keine Kreise
enthalten.
Definition (Baum, Wald, Blatt)
a) Ein Baum ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph
a) Ein Wald ist ein Grpah mit Zusammenhangskomponenten, die Bäume sind.
a) ein Blatt ist ein Knoten u in einem Baum T=(V,E) mit deg(u) = 1.
Knoten, die keine Blätter sind, heißen innere Knoten
\tag*{$\Box$}
Beispiel
Ist ein Baum. Blätter 2,5,6
Lemma
a) Ein Baum mit mindestens 2 Knoten hat mindestens 2 Blätter.
a) In einem Baum gibt es zwischen je 2 Knoten genau einen Pfad.
a) Sei T=(V,E) ein Baum, dann hat T\setminus \{v\} für v\in V genau
deg(v) Zusammenhangskomponenten.
Beweis (Lemma)
a) Da es mindestens 2 Konten u,v gibt, gibt es auch mindestens 1 Kante
{u,v} mit u,v \in V. Gehe in jeder Richtung den Baum entlang, bis wir in
einer Sackgasse enden. diese beiden Endpunkte sind Blätter. Da es keine Kreise
gibt, muss die Sackgasse erreicht werden.
a) Gäbe es 2 Pfade, dann auch einen Kreis. Widerspruch zu "kreisfrei"
a) jetzt nicht
Satz
Für jeden Baum T = (V,E) gilt |E| = |V| - 1
Beweis
Wir nehmen an, der Satz sei falsch. Sei T_0 = (V_0, E_0) ein Gegenbeispiel
mit minimaler Anzahl von Knoten, d.h. es gilt |E_0| \neq |V_0|-1 und für alle
Bäume T=(V,E) mit weniger als |V_0| Knoten gilt |E|=|V|-1.
Es gilt sicher |V_0| \geq 2, dann gibt es in T_0 nach Lemma a) mindestens 2
Blätter u, v.
Betrachte T' = T_0 \setminus \{u\}. Da u Blatt gilt deg(u) = 1 und laut
Lemma c) hat T' deg(u)=1 viele Zusammenhangskomponenten, d.h. T' ist
zusammenhängend und kreisfrei.
\Rightarrow T' ist ein Baum mit T' = (V',E') mit V' = V\setminus \{u\},
E' = E \setminus \{u, u'\}, wobei u' der (eindeutige) mit u benachbarte
Knoten ist.
Da |V'| \leq |V_0| gilt |E'| = |V'| - 1, damit |E_0| - 1 = (|V_0| - 1) -1
\Rightarrow |E_0| = |V_0| - 1. Widerspruch dazu, dass T_0 ein Gegenbeispiel
ist.
\tag*{$\Box$}
Definition (Spannbaum)
Sei G=(V,E) ein Graph. Ein Spannbaum T=(V',E') ist ein Teilgraph von $G$
mit
i) T ist Baum
i) V' = V
Satz (Existenz Spannbaum)
Ein Graph hat genau dann einen Spannbaum, falls G zusammenhängend ist.