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Gerichtete Graphen	2018-11-07

Beispiel:

G = (V,E)

• V endliche Menge
• E \subseteq V \times V

Kanten in G bestehen aus (u,v) mit u,v \in V, u \neq v. u heißt Startknoten, v heißt Endknoten der Kante (u,v). Vorstellung: Laufen im Graph nur in der richtigen Richtung. Kanten sind "Einbahnstraßen".

Für gerichtete Graphen definieren wir: G=(V,E), u\in V

• outdeg(u) = |\{v \in V | (u,v) \in E\}|
• indeg(u) = |\{v \in V | (v,u) \in E\}|

Beispiel von oben:

• outdeg(1) = 1, indeg(1) = 2
• outdeg(4) = 1, indeg(4) = 0

Pfade, Wege, Kreise (gerichtet)

Definiert man analog zum ungerichteten Fall mit der Einschränkung, das Knoten eines Pfades/Weges/Kreises in der richtigen Richtung verbunden sind.

Beispiel: Pfad

Gegeben: G=(V,E) gerichteter Graph.

Ein Pfad p ist ein Tupel (v_0,...,v_{l-1}) mit v_i \in V und $(v_i, v_{i+1}) \in E, \forall i \in {0,...,l-2}, v_i \neq v_j, \forall i \neq j$. p heißt $v_0v_{l-1}$-Pfad. Existenz eines Pfades von u nach v ($u,v \in V$) bezeichnen wir mit u \rightsquigarrow v.

Beispiel: (wie oben)

• (1,2,3,1,2) ist Weg
• (4,1,2) ist Pfad
• (2,3,1) ist Kreis

Definition (Zusammenhang)

Sei G=(V,E) gerichteter Graph und u,v \in V Knoten. u und v heißen stark zusammenhängend, falls es einen gerichteten $uv$-Pfad und einen gerichteten $vu$-Pfad gibt, d.h. falls u \rightsquigarrow v und $v \rightsquigarrow u$

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Beispiel: (von oben)

• 1 und 3 sind stark zusammenhängend
• 1 und 4 sind nicht stark zusammenhängend (kein Pfad von 1 nach 4)

Bemerkung: stark zusammenhängend ist Äquivalenzrelation. Die Untergraphen, die den Äquivalenzklassen entsprechen, heißen (starke) Zusammenhangskomponenten.

Ein gerichteter Graph G heißt stark zusammenhängend, falls G nur eine Zusammenhangskomponente hat.