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title: Knoten-Färbung
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date: 2018-11-28
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# Motivation
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a) Mobilfunk: Masten/Frequenzen
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i) Mobilfunkmasten, deren Sendebereich überlappt, brauchen verschiedene
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Frequenzen zum senden.
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i) Wir wollen insgesamt möglichst wenige Frequenzen nutzen
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**Als Graph**: Mobilfunkmasten $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen
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Knoten, falls Sendebereich überlappt. Frequenzen zuweisen, so dass
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benachbarte Knoten unterschiedliche Frequenzen haben
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a) Compilerbau: Zur selben Zeit genutzte Variablen sollen in unterschiedlichen
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Registern gespeichert werden
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a) Landkarten: Benachbarte Länder sollen unterschiedliche Farben bekommen.
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Länder $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zu Knoten, falls Länder eine gemeinsame
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Grenze haben (hier: planare Graphen).
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# Definition (Knoten-Färbung)
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Sei $k \in \mathbb{N}$ und $G=(V,E)$ Graph
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i) Eine $k$-Färbung von $G$ ist eine Abbildung
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$$
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C: v \rightarrow \{1,...,k\}
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$$
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mit der Eigenschaft $\forall \{u,v\} \in E : c(u) \neq c(v)$
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i) $G$ heist **$k$-färbbar**, falls es eine $k$-Färbung von $G$ gibt
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i) Die **chromatische Zahl** $\chi(G)$ von $G$ ist definiert als
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$$
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\chi(G) = \min \{ k\in \mathbb{N} | G \text{ ist } k \text{-färbbar} \}
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$$
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## Beispiel
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a) 
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$$
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c(1) = 1 \\
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c(2) = 3 \\
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c(3) = 2 \\
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c(4) = 1 \\
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c(5) = 2 \\
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\\
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\chi(G) = 3
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$$
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a) Jeder Graph $G=(V,E)$ miz $|V|=n$ ist $n$-färbbar
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a) Es gilt $\chi(K_n) = n$
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a) Kreise $C_n$
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i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$
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i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$
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a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph $G=(V,E)$. Es gibt eine Partition von
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$V$ in $V_1$ und $V_2$. $V = V_1 \biguplus V_2$ und $E \subseteq \{ \{u,v\} | u
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\in V_1, v \in V_2 \}$. Bipartite Graphen haben $\chi(G) = 2$ und es gilt
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sogar:
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# Satz
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Ein Graph $G=(V,E)$ hat $\chi(G) = 2$ $\Leftrightarrow$ $G$ ist bipratit.
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