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title	date
Graphentheorie	2018-10-31

Idee:

Knoten entsprechen Objekten, Kanten Beziehungen zwischen den Objekten.

Was wir nicht erlauben:

• Schleifen, d.h. Kanten von einem Konten zu sich selbst
• Mehrfache ungerichtete Kanten zwischen zwei Knoten

Gerichtete Graphen

Hier haben Kanten eine Richtung.

Bei gerichteten Graphen erlauben wir zwischen zwei Knoten zwei Kanten mit unterschiedlicher Richtung.

Definition (Graph)

Sei V eine endliche Menge und E eine Teilmenge von $E \subseteq \binom{V}{2} = { {u,v} | u,v \in V, u \neq v }$ (alle 2-elementingen Teilmengen).

Ein Graph ist ein Tupel

G = (V, E)

Beispiel: V = \{1,2,3\}, E = \{ \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\} \}

Definition (Gerichteter Graph; Digraph)

Sei V eine endliche Menge und $E \subseteq V \times V = { (u,v) | u,v \in E, u \neq v }$.

Ein Digraph ist ein Tupel G = (V, E).

Beispiel: V = \{1,2,3\}, E = \{ (2,3), (1,2), (3,1), (3,2) \}

Wichtige Beispiele von Graphen

a) Vollständiger Graph

Je zwei Knoten sind miteinander verbunden, d.h. für endliche Menge $V$ mit
$|V| = n$ ist $E = \binom{V}{2}$ für $K_n = (V,E)$

![$K_3$](20181031_1-ex_graph.png)

![$K_4$](20181031_1-k4.png)

![$K_5$](20181031_1-k5.png)

b) Kreisgraph C_n

![$C_4$](20181031_1-c4.png)

![$C_5$](20181031_1-c5.png)

Allgemein für $V = \{ v_1, ..., v_n \}$ dann ist $E = \{ \{v_i, v_{i+1}\} |
i \in \{1,..., n-1\} \} \cup \{v_n, v_1\}$

c) Pfad mit n Knoten P_n

![Pfad](20181031_1-path.png)

d) $d$-dimensionaler Würfel Q_d

Knoten sind alle Elemente aus $\{0,1\}^d$, $V = \{0,1\} \times ... \times
\{0,1\} = \{0,1\}^d$ und es gibt eine Kante zwischen zwei Knoten genau
dann, wenn sich die beiden Knoten an genau einer Stelle unterscheiden.

Definition (Benachbart, Randknoten, Nachbarschaft, $k$-regulär)

Sei G = (V, E) ein Graph.

a) Zwei Knoten u,v \in V heißen benachbart oder adjazent, falls $e = {u,v} \in E$. In diesem Fall heißen u und v Randknoten von e oder inzident zu e

b) Die Nachbarschaft eines Knoten u \in V ist die Menge aller zu $u$ benachbarten Knoten.

$$
\Gamma(u) = \{ v \in V | \{u,v\} \in V \}
$$

Die Größe der Nachbarschaft eines Knotens $u$ heißt **Grad** von $u$

$$
deg(u) = | \Gamma(u) |
$$

c) Ein Graph heißt $k$-regulär, falls gilt deg(u) = k, \forall u \in V

Beispiel: In Q_2 sind

• (00) und (01) Nachbarn
• \Gamma((00)) = \{(01,10)\}
• Q_2 ist 2-regulär, da deg(u) = 2, \forall u \in V
• Q_d ist $d$-regulär
• Der Pfad P_n ist nicht regulär

Andere Darstellung eines Graphen

a) Adjazenzmatrix

Wir stellen Nachbarschaftsbeziehungen, d.h. Kanten in Form einer Matrix
dar. Genauer sei $G = (V, E)$ ein Graph mit $V = \{v_1, ..., v_n\}$.

Die Adjazenzmatrix $A$ ist eine $n \times n$ Matrix $A = (a_{ij})$ wobei
$a_{ij} = \begin{cases}
1 & \{v_i, v_j\} \in E \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$

**Beispiel 1**: ![Beispiel Graph](20181031_1-adj_ex.png)

$$
A = \left( \begin{matrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0
\end{matrix} \right)
$$

b) Inzidenzmatrix

Sei $G = (V,E)$ mit $V = \{v_1, ..., v_n\}$, $E = \{e_1, ..., e_m\}$. Die
Inzidenzmatrix $B$ von $G$ ist eine $n \times m$ Matrix $B = (b_{ij})$
wobei $b_{ij} = \begin{cases}
1 & \text{falls } v_i \text{ inzident zu } e_j \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$.

**Beispiel 2**: ![Beispiel Graph](20181031_1-inzidenz_ex.png)

$$
B = \left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{matrix}\right)
$$

**Bemerkung**: Andere Nummerierung von Knoten und Kanten liefert andere
Adjazenz- und Inzidenzmatrix.

Nochmal Beispiel 1 und 2:

In Beispiel 1 gilt

deg(1) = 3 \\
deg(2) = 1 \\
deg(3) = 2 \\
deg(4) = 2

Es gilt deg(1) + deg(2) + deg(3) + deg(4) = 4 \cdot 2 = 8 und es gibt zwei Knoten mit ungeradem Grad.

In Beispiel 2 gilt

deg(1) = 1 \\
deg(2) = 2 \\
deg(3) = 1 \\
\\
\sum\limits_{i=1}^3 deg(i) = 4 = 2 \cdot 2

Und es gibt zwei Knoten mit ungeradem Grad.

Allgemein gilt:

Satz

Sei G = (V, E) ein Graph, dann gilt \sum\limits_{u \in V} deg(u) = 2 |E|

Beweis

Durch doppeltes Abzählen der Inzidenzmatrix B = (b_{ij}).

a) Spaltensumme liefert in jeder Spalte 2. Da es genau |E| Spalten gibt, ist \sum\limits_{i,j} b_{ij} = 2 |E|

b) Zeilensumme liefert in Zeile i deg(v_i) und damit insgesamt \sum\limits_{i,j} b{ij} = \sum\limits_{v \in V} deg(v)

\tag*{$\Box$}

Folgerung: Sei G=(V,E) ein Graph. Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist gerade.

Beweis

Wir teilen die Menge V der Knoten in V_1 und V_2, wobei

\begin{align*}
V_1 &= \{ v \in V | deg(v) \text{ ist ungerade} \} \\
V_2 &= \{ v \in V | deg(v) \text{ ist gerade} \} \\
\\
V_1 \cup V_2 &= V \\
V_1 \cap V_2 &= \emptyset
\end{align*}

Es gilt

\begin{align*}
& \sum\limits_{v \in V} deg(v) &= \sum\limits_{v \in V_1} deg(v) + \sum\limits_{v
\in V_2} deg(v) = 2 |E| \\
\Rightarrow & \sum\limits_{v \in V_1} deg(v) &= \underbrace{2 |E| - \sum\limits_{v
\in V_2} deg(v)}_\text{gerade} \\
\Rightarrow & \sum\limits_{v \in V_1} deg(v) \text{ ist gerade} \\
\Rightarrow & |V_1| \text{ ist gerade}
\end{align*}

\tag*{$\Box$}

Definition (Teilgraph/Untergraph)

Sei G=(V,E) ein Graph.

a) Ein Graph G' = (V',E') heißt Teilgraph von G, falls V' \subseteq V und E' \subseteq E.

b) Ein Teilgraph G' = (V',E') heißt Untergraph von G, falls $E' = { {u,v} | u,v \in V' \land {u,v} \in E } = E \cap \binom{V'}{2}$

Beispiel:

dann ist ein Teilgraph von G (aber kein Untergraph)

und ist ein Untergraph von G

Notation: Sei G=(V,E) ein Graph und V' \subseteq V, E' \subseteq E, dann bezeichnet

a) G[V'] den von V' induzierten Untergraph b) $G \setminus E' = (V, E \setminus E')$ c) G \setminus V' = (V \setminus V', E) = G[V \setminus V']