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Zahlpartitionen	2018-10-23

Gegeben: n,k \in \mathbb{N}, k < n

Auf wie viele Arten kann man n als Summe von k natürlichen Zahlen \geq 1 schreiben

Beispiel:

n = 4, k = 2 \\
4 = 1 + 3 \\
4 = 2 + 2 \\
4 = 3 + 1

Ungeordnete Zahlpartitionen

Eine ungeordnete Zahlpartition entspricht einer Multimenge \{s_1,...,s_n\}, so dass $s_i \geq 1, s_i \in \mathbb{N}$ und \sum\limits_{i=1}^k s_i = n. Wir bezeichnen die Anzahl dieser ungeordneten Zahlpartitionen/Multimengen mit P_{n,k}.

Satz

Es gilt P_{n,k} = P_{n-1,k-1} + P_{n-k,k} mit P_{n,0} = P_{0,0} = 0 und P_{n,n} = P_{n,1} = 1

Beweis

Wir teilen die Zahlpartitionen diesmal in (k+1) disjunkte Fälle auf.

• Fall i (i \in \{1,...,k\})

  Wir betrachten die Zahlpartitionen, bei denen genau i der Summanden gleich 1 sind. Ohne Einschränkung sei s_1 = s_2 = ... = s_i = 1 und damit s_{i+1},...,s_k \geq 2

  Es gilt \sum\limits_{j=i+1}^k s_j = (n-i)

  Betrachte wieder s_j' = s_{j-1} für j \in \{i-1,...,k\}. Dann gilt \sum\limits_{j=i+1}^k s_j' = (n-i) - (k-i) = (n-k) und s_j' \geq 1. Damit gibt es im Fall i genau $P_{n-k,k}$ Möglichkeiten.

Summenregel liefert

P_{n,k} = \sum\limits_{i=0}^k P_{n-k,k-i} = \sum\limits_{j=0}^k P_{n-k,j}

\tag*{$\Box$}

Geordnete Zahlpartitionen

Eine geordnete Zahlpartition entspricht einem $k$-Tupel (s_1, ...s_k) mit \sum\limits_{i=1}^k s_i = n mit s_i \in \mathbb{N}, s_i \geq 1. Wir zählen die Anzahl der Tupel wie folgt:

• Schreibe n als Summe von n Einsen
• Jede $k$-Partition entspricht der Wahl von (k-1) Plus Zeichen in obiger Summe. Da es (n-1) Plus Zeichen gibt, erhalten wir \binom{n-1}{k-1} geordnete $k$-Partitionen der Zahl.

Satz

Die Anzahl der geordneten $k$-Partitionen der Zahl n ist \binom{n-1}{k-1}

Beispiel:

a) Frage: Wie viele Lösungen hat die Gleichung x_1+x_2+...+x_{10} = 100 mit x_i \in \mathbb{N}, x_i \geq 1?

Antwort: \binom{99}{9}

b) Wie viele Lösungen hat die Gleichung x_1+x_2+...+x_{10} = 100 mit x_i \in \mathbb{N} \cup \{0\} (x_i \geq 0)?

Trick: wir betrachten y_i = x_i + 1. Dann gilt y_1 + y_2+...+y_{10} = 100 + 10 = 110. Damit gibt es \binom{109}{9} Möglichkeiten.