86 lines
2.5 KiB
TeX
86 lines
2.5 KiB
TeX
|
\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
|
||
|
|
\usepackage{url}
|
||
|
|
%\usepackage{graphics}
|
||
|
|
\usepackage{times}
|
||
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||
|
|
\usepackage{ngerman}
|
||
|
|
\usepackage{float}
|
||
|
|
\usepackage{diagbox}
|
||
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
|
|
\usepackage{geometry}
|
||
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
||
|
|
\usepackage{amsmath}
|
||
|
|
\usepackage{cancel}
|
||
|
|
\usepackage{csquotes}
|
||
|
|
\usepackage{graphicx}
|
||
|
|
\usepackage{epsfig}
|
||
|
|
\usepackage{paralist}
|
||
|
|
\usepackage{tikz}
|
||
|
|
\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
|
||
|
|
\def \name {Valentin Brandl} %
|
||
|
|
\def \matrikel {108018274494} %
|
||
|
|
\def \pname {Marvin Herrmann} %
|
||
|
|
\def \pmatrikel {108018265436} %
|
||
|
|
\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
|
||
|
|
\def \qname {Pascal Brackmann}
|
||
|
|
\def \qmatrikel {108017113834} %
|
||
|
|
\def \uebung {7} %
|
||
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||
|
|
|
||
|
|
% DO NOT MODIFY THIS HEADER
|
||
|
|
\newcommand{\hwsol}{
|
||
|
|
\vspace*{-2cm}
|
||
|
|
\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
|
||
|
|
\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
|
||
|
|
\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
|
||
|
|
\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
|
||
|
|
}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
%Import header
|
||
|
|
\hwsol
|
||
|
|
|
||
|
|
\section*{Aufgabe 7.4}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{enumerate}[1.]
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Sei $G = (V, E)$ ein Graph mit $|V| = 7$ und $|E| = 16$
|
||
|
|
|
||
|
|
Ein Graph ist planar, falls $|E| \leq 3 |V| - 6$
|
||
|
|
|
||
|
|
$16 \geq 3 * 7 - 6 = 15 \Rightarrow G$ ist nicht planar
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{figure}[h!]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_1.jpg}
|
||
|
|
\caption{Planarer Graph $G=(V,E)$ mit $|V| = 7$ und $|E| = 15$}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Ein Teilgraph von $G$ lässt sich folgendermaßen Zeichnen (Abbildung \ref{TG}):
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{figure}[h!]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2a.jpg}
|
||
|
|
\caption{Teilgraph von G}
|
||
|
|
\label{TG}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
|
|
|
||
|
|
Nach entfernen der Unterteilungen durch die Konten $3,6,7$ und $9$, erhält man folgenden Graphen (Abbildung
|
||
|
|
\ref{TGU}):
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{figure}[h!]
|
||
|
|
\centering
|
||
|
|
\includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2b.jpg}
|
||
|
|
\caption{Teilgraph von G nach entfernen der Unterteilungen}
|
||
|
|
\label{TGU}
|
||
|
|
\end{figure}
|
||
|
|
|
||
|
|
Dieser Graph ist $K_5$. Damit wurde gezeigt, dass $G$ den Graphen $K_5$ enthält. $K_5$ ist nicht planar und
|
||
|
|
damit ist auch jeder Graph, der $K_5$ enthält, nicht planar.
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|