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\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
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\usepackage{url}
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%\usepackage{graphics}
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\usepackage{times}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{float}
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\usepackage{diagbox}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{geometry}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{cancel}
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\usepackage{csquotes}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{epsfig}
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\usepackage{paralist}
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\usepackage{tikz}
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\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
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%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
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\def \name {Valentin Brandl} %
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\def \matrikel {108018274494} %
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\def \pname {Marvin Herrmann} %
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\def \pmatrikel {108018265436} %
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\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
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\def \qname {Pascal Brackmann}
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\def \qmatrikel {108017113834} %
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\def \uebung {7} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% DO NOT MODIFY THIS HEADER
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\newcommand{\hwsol}{
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\vspace*{-2cm}
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\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
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\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
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\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
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\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
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}
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\begin{document}
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%Import header
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\hwsol
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\section*{Aufgabe 7.4}
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\begin{enumerate}[1.]
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\item Sei $G = (V, E)$ ein Graph mit $|V| = 7$ und $|E| = 16$
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Ein Graph ist planar, falls $|E| \leq 3 |V| - 6$
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$16 \geq 3 * 7 - 6 = 15 \Rightarrow G$ ist nicht planar
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_1.jpg}
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\caption{Planarer Graph $G=(V,E)$ mit $|V| = 7$ und $|E| = 15$}
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\end{figure}
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\item Ein Teilgraph von $G$ lässt sich folgendermaßen Zeichnen (Abbildung \ref{TG}):
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2a.jpg}
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\caption{Teilgraph von G}
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\label{TG}
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\end{figure}
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Nach entfernen der Unterteilungen durch die Konten $3,6,7$ und $9$, erhält man folgenden Graphen (Abbildung
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\ref{TGU}):
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\begin{figure}[h!]
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\centering
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\includegraphics[width=\textwidth/2]{./school/di-ma/uebung/07/07_4_2b.jpg}
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\caption{Teilgraph von G nach entfernen der Unterteilungen}
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\label{TGU}
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\end{figure}
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Dieser Graph ist $K_5$. Damit wurde gezeigt, dass $G$ den Graphen $K_5$ enthält. $K_5$ ist nicht planar und
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damit ist auch jeder Graph, der $K_5$ enthält, nicht planar.
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\end{enumerate}
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\end{document}
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