notes/school/di-ma/20181128_1-knotenfaerbung.md

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title: Knoten-Färbung
date: 2018-11-28
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# Motivation

a) Mobilfunk: Masten/Frequenzen

    i) Mobilfunkmasten, deren Sendebereich überlappt, brauchen verschiedene
    Frequenzen zum senden.

    i) Wir wollen insgesamt möglichst wenige Frequenzen nutzen

    **Als Graph**: Mobilfunkmasten $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen
    Knoten, falls Sendebereich überlappt. Frequenzen zuweisen, so dass
    benachbarte Knoten unterschiedliche Frequenzen haben

a) Compilerbau: Zur selben Zeit genutzte Variablen sollen in unterschiedlichen
Registern gespeichert werden

a) Landkarten: Benachbarte Länder sollen unterschiedliche Farben bekommen.
Länder $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zu Knoten, falls Länder eine gemeinsame
Grenze haben (hier: planare Graphen).


# Definition (Knoten-Färbung)

Sei $k \in \mathbb{N}$ und $G=(V,E)$ Graph

i) Eine $k$-Färbung von $G$ ist eine Abbildung

    $$
    C: v \rightarrow \{1,...,k\}
    $$

    mit der Eigenschaft $\forall \{u,v\} \in E : c(u) \neq c(v)$

i) $G$ heist **$k$-färbbar**, falls es eine $k$-Färbung von $G$ gibt

i) Die **chromatische Zahl** $\chi(G)$ von $G$ ist definiert als

    $$
    \chi(G) = \min \{ k\in \mathbb{N} | G \text{ ist } k \text{-färbbar} \}
    $$


## Beispiel

a) ![Graph](20181128_1-faerbung.png)

    $$
    c(1) = 1 \\
    c(2) = 3 \\
    c(3) = 2 \\
    c(4) = 1 \\
    c(5) = 2 \\
    \\
    \chi(G) = 3
    $$

a) Jeder Graph $G=(V,E)$ miz $|V|=n$ ist $n$-färbbar

a) Es gilt $\chi(K_n) = n$

a) Kreise $C_n$

    i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$

    i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$

a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph $G=(V,E)$. Es gibt eine Partition von
$V$ in $V_1$ und $V_2$. $V = V_1 \biguplus V_2$ und $E \subseteq \{ \{u,v\} | u
\in V_1, v \in V_2 \}$. Bipartite Graphen haben $\chi(G) = 2$ und es gilt
sogar:


# Satz

Ein Graph $G=(V,E)$ hat $\chi(G) = 2$ $\Leftrightarrow$ $G$ ist bipratit.


## Beweis

"$\Leftarrow$" siehe oben

"$\Rightarrow$" Sei $G=(V,E)$ ein Graph mit $\chi(G) = 2$. Das heißt $\exists c
: V \rightarrow \{1,2\}$ mit $\forall \{u,v\} \in E: c(u) \neq c(v)$.

Setze $V_1 = \{v \in V | c(v) = 1 \}$ und $V_2 = \{v \in V | c(v) = 2 \}$.
Damit gilt $V = V_1 \biguplus V_2$ und $E \subseteq \{ \{u,v\} | u \in V_1, v
\in V_2 \}$ denn es gibt keine Katen zu Knoten gleicher Farbe.


Es gilt weiterhin

# Satz

Sei $G=(V,E)$ Graph, dann gilt $\chi(G) = 2$ genau dann, wenn $G$ keinen Kreis
ungerader Länge enthält.

## Beweis

"$\Rightarrow$" Sei $G$ ein Graph, der einen Kreis ungerader Länge enthält. Für
diesen Teilgraph braucht man schon 3 Farben. Damit kann $G$ nicht 2-färbbar
sein.

"$\Leftarrow$" Sei $G$ ein Graph der keinen Kreis ungerader Länge enthäöt. Wir
nehmen ohne Einschränkung an, dass $G$ zusammenhängend ist. Wähle $s\in V$
beliebig und führe Breitensuche auf $G$ mit Startknoten $s$ aus. Liefert
Spannbaum $T = \{ \{v,pred[v]\} | v \in V \setminus \{s\} \}$ und
Abstandsvektor $d[v]$.

Wir setzen $c: V \rightarrow \{1,2\}$ mit $c(v) = \begin{cases}
1 & 2 \mid d[v] \\
2 & 2 \nmid d[v]
\end{cases}$. Dies liefert die Färbung auf $T$.

Die weiteren Kanten von $G$ schließen Kreise gerader Länge. Deshalb haben
Endknoten immer unterschiedliche Farben.

$$
\tag*{$\Box$}
$$


$$
\chi(G) = 2 \Leftrightarrow G\text{ ist bipartit} \Leftrightarrow G \text{
enthält keinen Kreis ungerader Länge}
$$


# Satz

Sei $G=(V,E)$ ein planarer Graph. Dann gilt $\chi(G) \leq 6$.

## Beweis

(per Induktion)

Die Aussage ist trivial, falls $|V| \leq 6$.

**Induktionsschritt**: Sei nun $G=(V,E)$ planar mit $|V| \geq 6$. Da $G$
planar, $\exists v \in V : deg(v) \leq 5$.

Betrachte $G' = G \setminus \{v\}$. Nach Induktionsanfang gibt es eine Färbung
für $G'$ mit maximal 6 Farben. Das heißt

$$
\exists c' : V \setminus \{v\} \rightarrow \{1,...,6\} \text{ so dass} \\
\forall \{u,w\} \in E, u,w \neq v : c'(u) \neq c'(v)
$$

Wir konstruieren

$$
c: V \rightarrow \{1,...,6\} \text{ mit} \\
c(u) = \begin{cases}
c'(u) & u \neq v \\
\min \{\{1,...,6\} \setminus \{c'(x)\} | x \in \Gamma(v)\} & u = v
\end{cases}
$$

Da $|\Gamma(v)| \leq 5$ ist $c(v) \in \{1,...,6\}$ wohl definiert und $c$ ist
Färbung von $G$.

$$
\tag*{$\Box$}
$$


Mit ein wenig mehr Aufwand kann man zeigen

$$
G \text{ planar} \Rightarrow \chi(G) \leq 5
$$


Es gilt sogar

# Satz

Sei $G=(V,E)$ planar, dann gilt $\chi(G) \leq 4$


## Bemerkungen

i) Computergestützter Beweis

i) Es gibt einen Algorithmus, der für planare Graphen eine 4-Färbung in
Laufzeit $O(|V|^2)$ berechnet

i) Für allgemeine Graphen ist die Frage $\chi(G) \stackrel{?}{\le} 3$ nicht
effizient zu entscheiden (d.h. wir kennen keinen Algorithmus mit polynomieller
Laufzeit)


Deshalb: effiziente Algorithmen, die eine nicht-optimale Lösung finden