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school/di-ma/20181009_2-kombinatorik.md

@@ -145,7 +145,7 @@ $n! = n\cdot(n-1)\cdot...\cdot2\cdot1$ Möglichkeiten
 
 **Bemerkung:** Es gilt
 $$
-n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-1)!}
+n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}
 $$
 
 ### Fall C

school/di-ma/20181128_1-knotenfaerbung.md

@@ -66,7 +66,7 @@ a) Es gilt $\chi(K_n) = n$
 a) Kreise $C_n$
 
     i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$
-    
+
     i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$
 
 a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph $G=(V,E)$. Es gibt eine Partition von
@@ -78,3 +78,121 @@ sogar:
 # Satz
 
 Ein Graph $G=(V,E)$ hat $\chi(G) = 2$ $\Leftrightarrow$ $G$ ist bipratit.
+
+
+## Beweis
+
+"$\Leftarrow$" siehe oben
+
+"$\Rightarrow$" Sei $G=(V,E)$ ein Graph mit $\chi(G) = 2$. Das heißt $\exists c
+: V \rightarrow \{1,2\}$ mit $\forall \{u,v\} \in E: c(u) \neq c(v)$.
+
+Setze $V_1 = \{v \in V | c(v) = 1 \}$ und $V_2 = \{v \in V | c(v) = 2 \}$.
+Damit gilt $V = V_1 \biguplus V_2$ und $E \subseteq \{ \{u,v\} | u \in V_1, v
+\in V_2 \}$ denn es gibt keine Katen zu Knoten gleicher Farbe.
+
+
+Es gilt weiterhin
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ Graph, dann gilt $\chi(G) = 2$ genau dann, wenn $G$ keinen Kreis
+ungerader Länge enthält.
+
+## Beweis
+
+"$\Rightarrow$" Sei $G$ ein Graph, der einen Kreis ungerader Länge enthält. Für
+diesen Teilgraph braucht man schon 3 Farben. Damit kann $G$ nicht 2-färbbar
+sein.
+
+"$\Leftarrow$" Sei $G$ ein Graph der keinen Kreis ungerader Länge enthäöt. Wir
+nehmen ohne Einschränkung an, dass $G$ zusammenhängend ist. Wähle $s\in V$
+beliebig und führe Breitensuche auf $G$ mit Startknoten $s$ aus. Liefert
+Spannbaum $T = \{ \{v,pred[v]\} | v \in V \setminus \{s\} \}$ und
+Abstandsvektor $d[v]$.
+
+Wir setzen $c: V \rightarrow \{1,2\}$ mit $c(v) = \begin{cases}
+1 & 2 \mid d[v] \\
+2 & 2 \nmid d[v]
+\end{cases}$. Dies liefert die Färbung auf $T$.
+
+Die weiteren Kanten von $G$ schließen Kreise gerader Länge. Deshalb haben
+Endknoten immer unterschiedliche Farben.
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+$$
+\chi(G) = 2 \Leftrightarrow G\text{ ist bipartit} \Leftrightarrow G \text{
+enthält keinen Kreis ungerader Länge}
+$$
+
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ ein planarer Graph. Dann gilt $\chi(G) \leq 6$.
+
+## Beweis
+
+(per Induktion)
+
+Die Aussage ist trivial, falls $|V| \leq 6$.
+
+**Induktionsschritt**: Sei nun $G=(V,E)$ planar mit $|V| \geq 6$. Da $G$
+planar, $\exists v \in V : deg(v) \leq 5$.
+
+Betrachte $G' = G \setminus \{v\}$. Nach Induktionsanfang gibt es eine Färbung
+für $G'$ mit maximal 6 Farben. Das heißt
+
+$$
+\exists c' : V \setminus \{v\} \rightarrow \{1,...,6\} \text{ so dass} \\
+\forall \{u,w\} \in E, u,w \neq v : c'(u) \neq c'(v)
+$$
+
+Wir konstruieren
+
+$$
+c: V \rightarrow \{1,...,6\} \text{ mit} \\
+c(u) = \begin{cases}
+c'(u) & u \neq v \\
+\min \{\{1,...,6\} \setminus \{c'(x)\} | x \in \Gamma(v)\} & u = v
+\end{cases}
+$$
+
+Da $|\Gamma(v)| \leq 5$ ist $c(v) \in \{1,...,6\}$ wohl definiert und $c$ ist
+Färbung von $G$.
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+Mit ein wenig mehr Aufwand kann man zeigen
+
+$$
+G \text{ planar} \Rightarrow \chi(G) \leq 5
+$$
+
+
+Es gilt sogar
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ planar, dann gilt $\chi(G) \leq 4$
+
+
+## Bemerkungen
+
+i) Computergestützter Beweis
+
+i) Es gibt einen Algorithmus, der für planare Graphen eine 4-Färbung in
+Laufzeit $O(|V|^2)$ berechnet
+
+i) Für allgemeine Graphen ist die Frage $\chi(G) \stackrel{?}{\le} 3$ nicht
+effizient zu entscheiden (d.h. wir kennen keinen Algorithmus mit polynomieller
+Laufzeit)
+
+
+Deshalb: effiziente Algorithmen, die eine nicht-optimale Lösung finden

school/di-ma/20181128_2-greedy-algorithmen.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+---
+title: Greedy-Algorithmen
+date: 2018-11-28
+---
+
+Greedy-Algorithmen suchen immer lokal die beste Lösung. Die Lösungen müssen
+nicht global optimal sein.
+
+# Algorithmus (Greedy-Färbung)
+
+**Eingabe**: $G=(V,E)$ ohne Einschränkung $V \in \{1,...,n\}$
+
+i) setze $c(1) = 1$
+
+i) `for ` $i \in \{2,...,n\}$ setze
+
+    $$
+    c(i) = \min\limits_{k\in \mathbb{N}} \{ k \neq c(v) | v \in \{1,...,i+1\}
+    \cap \Gamma(i) \}
+    $$
+
+i) **Ausgabe**: $c : V \rightarrow \{ 1,..., \max \{c(i) | i \in V\} \}$
+
+
+## Korrektheit
+
+Da benachbarte Knoten unterschiedliche Farben haben, sit $c$ eine gültige
+Färbung.
+
+**Laufzeit**: $O(|V|)$ Iterationen.
+
+
+Wie gut ist die Lösung des Greedy-Algorithmus?
+
+
+Sei
+$$
+C = \max \{ c(i) | i \in \{1,...,n\} \}
+$$
+die Anzahl der Farben die der Greedy-Algorithmus braucht und
+$$
+A(G) = \max\limits_{v \in V} deg(v)
+$$
+dann gilt
+$$
+\chi(G) \leq C \leq \Delta(G) + 1
+$$
+da jeder Knoten maximal $\Delta(G)$ Nachbarn hat, ist die gewählte Farbe im
+Schritt ii) immer kleiner gleich $\Delta(G) + 1$.
+
+Die Güte der Lösung ist abhängig von der Reihenfolge, in welcher der
+Greedy-Algorithmus die Knoten abarbeitet.
+
+**Beispiel**: Betrachte bipartiten Graph mit $V_1 = \{u_1,...,u_n\}$ und
+$V_2=\{v_1,...,v_n\}$ und $E = \{ \{u_i,v_j\} \mid i,j \in \{1,...,n\}, i \neq
+j\}$
+
+a) Reihenfolge $(u_1,u_2,...,u_n,v_1,v_2,...,v_n)$, dann gilt $C = \chi(G)$
+
+a) Reihenfolge $(u_1,v_1,u_2,v_2,...,u_n,v_n)$, dann gilt $C=n=\Delta(G) + 1$
+
+Man kann zeigen, dass es immer eine Reihenfolge gibt, so dass $C = \chi(G)$,
+aber diese Reihenfolge kann man im Allgemeinen nicht effizient finden.

school/di-ma/20181204_1-kantenfaerbung.dot

@@ -0,0 +1,18 @@
+graph g {
+    splines=false;
+    node [ shape="circle" ];
+
+    {
+        rank="same";
+        A; B;
+    }
+    {
+        rank="same";
+        C; D;
+    }
+
+    A -- B [ label="1" ];
+    A -- C [ label="2" ];
+    A -- D [ label="3" ];
+    B -- D [ label="2" ];
+}

school/di-ma/20181204_1-kantenfaerbung.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+---
+title: Kantenfärbung
+date: 2018-12-04
+---
+
+**Beispiel**: $n$ Teams $\widehat{=}$ Knoten, $m$ Partien zwischen je 2 Teams
+$\widehat{=} Kanten$
+
+![Graph](20181204_1-kantenfaerbung.png)
+
+Festlegen der Termine, an denen die SPiele stattfinden (Termine haben Nummern
+$1,...,k$).
+
+**Frage**: Wie viele Termine braucht man?
+
+**Bedingung**: Kein Team kann an einem Termin 2 Spiele spielen
+
+
+# Definition (Kantenfärbung)
+
+Sei $G=(V,E)$ ein Graph.
+
+i) Eine Kantenfärbung ist eine Abbildung
+    $$
+    c : E \rightarrow \{1,...,k\}
+    $$
+    mit der Eigenschaft
+    $$
+    \forall e,e' \in E, e \neq e' \land e \cap e' = \emptyset : c(e) \neq c(e')
+    $$
+
+i) Ein Graph heißt $k$-kantenfärbbar, falls es eine $k$-Kantenfärbung für $G$
+gibt.
+
+i) Der **chromatische Index** $\chi'(G)$ ist definiert als
+    $$
+    \chi'(G) = \min \{k \in \mathbb{N} \mid
+    G \text{ ist } k \text{-kantenfärbbar}\}
+    $$
+    
+    
+**Bemerkung**: Es gilt $\chi'(G) \geq \Delta(G)$ mit $\Delta(G) =
+\max\limits_{v \in V} deg(v)$, da alle $\Delta(G)$ Kanten eines Knotens $v$ mit
+$deg(v) = \Delta(G)$ unterschiedliche Farben haben müssen.
+
+Es gilt sogar:
+
+# Satz
+
+Sei $G=(V,E)$ Graph, dann gilt
+$$
+\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1
+$$
+
+ohne Beweis
+
+$$
+\tag*{$\Box$}
+$$
+
+
+**Bemerkung**: zu entscheiden, ob $\chi'(G) = \Delta(G)$ oder
+$\chi'(G)=\Delta(G)+1$ ist im Allgemeinen ein schweres Problem.

school/di-ma/20181204_2-matching.dot

@@ -0,0 +1,29 @@
+graph g {
+    rankdir="LR";
+    node [ shape="circle" ];
+    {
+        rank="same";
+        J1;
+        J2;
+        J3;
+        J1 -- J2 -- J3 [ style="invis" ];
+    }
+    {
+        rank="same";
+        B1;
+        B2;
+        B3;
+        B4;
+
+        B1 -- B2 -- B3 -- B4 [ style="invis" ];
+    }
+    J1 -- B1 [ penwidth=3 ];
+    J1 -- B3;
+    J1 -- B4;
+
+    J2 -- B3 [ penwidth=3 ];
+    J2 -- B4;
+
+    J3 -- B2 [ penwidth=3 ];
+    J3 -- B4;
+}

school/di-ma/20181204_2-matching.md

@@ -0,0 +1,76 @@
+---
+title: Matching
+date: 2018-12-04
+---
+
+**Beispiele**
+
+i) verschiedene Jobs und Bewerber $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen Job und
+Bewerber, falls Bewerber geeignet ist für Job.
+
+    Ziel: Jedem Job einen Bewerber zuordnen
+
+    ![Beispiel Matching](20181204_2-matching.png)
+
+i) Statt Jobs haben wir Rechentasks und statt Bewerbern haben wir Rechner.
+Kanten zwischen Task und Rechner falls Rechner die nötigen Ressourcen hat, um
+Task auszuführen
+
+i) Heiraten. Kanten zwischen Personen, falls sie sich heiraten wollen. Ziel:
+alle sollen heiraten
+
+
+**Bemerkung**: Fall i) und ii) entsprechen bipartiten Graphen.
+
+
+# Definition (Matching)
+
+Sei $G=(V,E)$ ein Graph und $M \subseteq E$
+
+i) $M$ heißt **Matching**, falls
+    $$
+    \forall e_1,e_2 \in M : e_1 \cap e_2 = \emptyset
+    $$
+
+i) Ein Knoten $v \in V$ heißt überdeckt von $M$, falls $\exists e\in M:v\in e$
+
+i) Matching $M$ heißt perfekt, falls alle Knoten überdeckt sind, d.h.
+$|M|=\frac{|V|}{2}$. Wenn $|V| = 2y + 1$ ($|V|$ ist ungerade), gibt es kein
+perfektes Matching
+
+
+**Frage**: Kann man effizient maximale Matchings finden?
+
+Zumindest für bipartite Graphen, ja!
+
+
+# Notation
+
+Sei $G=(V,E)$ Graph und $X \subseteq V$. Dann sei
+
+$$
+\Gamma(X) = \bigcup\limits_{a\in X} \Gamma(a)
+$$
+
+
+# Satz (Hall, Heiratssatz)
+
+Sei $G=(A\biguplus B, E)$ ein bipartiter Graph. $G$ enthält ein Matching $M
+\subseteq E$ mit $|M| = |A|$, genau dann, wenn
+
+$$
+\forall X \subseteq A : |\Gamma(X)| \geq |X|
+$$
+
+## Bemerkung
+
+* Falls Bedingung erfüllt, folgt $|B| \geq |A|$, denn $\Gamma(A) \subseteq B$
+* Falls $|A| = |B|$, dann ist das Matching perfekt.
+
+
+## Beweis
+
+"$\Rightarrow$" sei $M$ ein Matching mit $|M| = |A|$ und $X \subseteq A$.
+Betrachten der Teilgraph $G'=(A\bigcup B, M)$.  Dann gilt $| \Gamma(X) | = | X
+|$ in $G'$, da $M$ Matching und damit gilt $|\Gamma(X)| \geq |X|$ in $G$, da in
+$G$ nur neue Nachbarn hinzu kommen können.

school/di-ma/index.md

@@ -27,3 +27,6 @@ subtitle: >
 - [2018-11-21 Eulertouren](20181121_1-eulertouren)
 - [2018-11-21 Planare Graphen](20181121_2-planare_graphen)
 - [2018-11-28 Knoten-Färbung](20181128_1-knotenfaerbung)
+- [2018-11-28 Greedy-Algorithmen](20181128_2-greedy-algorithmen)
+- [2018-12-04 Kantenfärbung](20181204_1-kantenfaerbung)
+- [2018-12-04 Matching](20181204_2-matching)