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title	date
Knoten-Färbung	2018-11-28

Motivation

a) Mobilfunk: Masten/Frequenzen

i) Mobilfunkmasten, deren Sendebereich überlappt, brauchen verschiedene
Frequenzen zum senden.

i) Wir wollen insgesamt möglichst wenige Frequenzen nutzen

**Als Graph**: Mobilfunkmasten $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen
Knoten, falls Sendebereich überlappt. Frequenzen zuweisen, so dass
benachbarte Knoten unterschiedliche Frequenzen haben

a) Compilerbau: Zur selben Zeit genutzte Variablen sollen in unterschiedlichen Registern gespeichert werden

a) Landkarten: Benachbarte Länder sollen unterschiedliche Farben bekommen. Länder \widehat{=} Knoten. Kanten zu Knoten, falls Länder eine gemeinsame Grenze haben (hier: planare Graphen).

Definition (Knoten-Färbung)

Sei k \in \mathbb{N} und G=(V,E) Graph

i) Eine $k$-Färbung von G ist eine Abbildung

$$
C: v \rightarrow \{1,...,k\}
$$

mit der Eigenschaft $\forall \{u,v\} \in E : c(u) \neq c(v)$

i) G heist $k$-färbbar, falls es eine $k$-Färbung von G gibt

i) Die chromatische Zahl \chi(G) von G ist definiert als

$$
\chi(G) = \min \{ k\in \mathbb{N} | G \text{ ist } k \text{-färbbar} \}
$$

Beispiel

a)

$$
c(1) = 1 \\
c(2) = 3 \\
c(3) = 2 \\
c(4) = 1 \\
c(5) = 2 \\
\\
\chi(G) = 3
$$

a) Jeder Graph G=(V,E) miz |V|=n ist $n$-färbbar

a) Es gilt \chi(K_n) = n

a) Kreise C_n

i) falls $n$ gerade ist $\chi(C_n) = 2$

i) falls $n$ ungerade ist $\chi(C_n) = 3$

a) Bipartite Graphen: Bipartiter Graph G=(V,E). Es gibt eine Partition von V in V_1 und V_2. V = V_1 \biguplus V_2 und $E \subseteq { {u,v} | u \in V_1, v \in V_2 }$. Bipartite Graphen haben \chi(G) = 2 und es gilt sogar:

Satz

Ein Graph G=(V,E) hat \chi(G) = 2 \Leftrightarrow G ist bipratit.

Beweis

"$\Leftarrow$" siehe oben

"$\Rightarrow$" Sei G=(V,E) ein Graph mit \chi(G) = 2. Das heißt $\exists c

V \rightarrow {1,2}$ mit \forall \{u,v\} \in E: c(u) \neq c(v).

Setze V_1 = \{v \in V | c(v) = 1 \} und V_2 = \{v \in V | c(v) = 2 \}. Damit gilt V = V_1 \biguplus V_2 und $E \subseteq { {u,v} | u \in V_1, v \in V_2 }$ denn es gibt keine Katen zu Knoten gleicher Farbe.

Es gilt weiterhin

Satz

Sei G=(V,E) Graph, dann gilt \chi(G) = 2 genau dann, wenn G keinen Kreis ungerader Länge enthält.

Beweis

"$\Rightarrow$" Sei G ein Graph, der einen Kreis ungerader Länge enthält. Für diesen Teilgraph braucht man schon 3 Farben. Damit kann G nicht 2-färbbar sein.

"$\Leftarrow$" Sei G ein Graph der keinen Kreis ungerader Länge enthäöt. Wir nehmen ohne Einschränkung an, dass G zusammenhängend ist. Wähle $s\in V$ beliebig und führe Breitensuche auf G mit Startknoten s aus. Liefert Spannbaum T = \{ \{v,pred[v]\} | v \in V \setminus \{s\} \} und Abstandsvektor d[v].

Wir setzen c: V \rightarrow \{1,2\} mit $c(v) = \begin{cases} 1 & 2 \mid d[v] \ 2 & 2 \nmid d[v] \end{cases}$. Dies liefert die Färbung auf T.

Die weiteren Kanten von G schließen Kreise gerader Länge. Deshalb haben Endknoten immer unterschiedliche Farben.

\tag*{$\Box$}

\chi(G) = 2 \Leftrightarrow G\text{ ist bipartit} \Leftrightarrow G \text{
enthält keinen Kreis ungerader Länge}

Satz

Sei G=(V,E) ein planarer Graph. Dann gilt \chi(G) \leq 6.

Beweis

(per Induktion)

Die Aussage ist trivial, falls |V| \leq 6.

Induktionsschritt: Sei nun G=(V,E) planar mit |V| \geq 6. Da $G$ planar, \exists v \in V : deg(v) \leq 5.

Betrachte G' = G \setminus \{v\}. Nach Induktionsanfang gibt es eine Färbung für G' mit maximal 6 Farben. Das heißt

\exists c' : V \setminus \{v\} \rightarrow \{1,...,6\} \text{ so dass} \\
\forall \{u,w\} \in E, u,w \neq v : c'(u) \neq c'(v)

Wir konstruieren

c: V \rightarrow \{1,...,6\} \text{ mit} \\
c(u) = \begin{cases}
c'(u) & u \neq v \\
\min \{\{1,...,6\} \setminus \{c'(x)\} | x \in \Gamma(v)\} & u = v
\end{cases}

Da |\Gamma(v)| \leq 5 ist c(v) \in \{1,...,6\} wohl definiert und c ist Färbung von G.

\tag*{$\Box$}

Mit ein wenig mehr Aufwand kann man zeigen

G \text{ planar} \Rightarrow \chi(G) \leq 5

Es gilt sogar

Satz

Sei G=(V,E) planar, dann gilt \chi(G) \leq 4

Bemerkungen

i) Computergestützter Beweis

i) Es gibt einen Algorithmus, der für planare Graphen eine 4-Färbung in Laufzeit O(|V|^2) berechnet

i) Für allgemeine Graphen ist die Frage \chi(G) \stackrel{?}{\le} 3 nicht effizient zu entscheiden (d.h. wir kennen keinen Algorithmus mit polynomieller Laufzeit)

Deshalb: effiziente Algorithmen, die eine nicht-optimale Lösung finden