Add solution for dima 8

school/di-ma/uebung/08/08_3.dot

@@ -0,0 +1,31 @@
+graph {
+    splines=false;
+    node [ shape="circle" ];
+
+    {
+        rank=same; 1;
+    }
+
+    {
+        rank=same; 2;
+        /* a [ style="invisible" width=0 ]; */
+        /* a [ style="invisible" shape="point" width=0 ]; */
+        6;
+    }
+
+    {
+        rank=same; 3; 5;
+    }
+
+    {
+        rank=same; 4;
+    }
+
+    1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 -- 1;
+
+    1 -- 3 -- 6 -- 2 -- 4;
+
+    1 -- 5 -- 2;
+    5 -- 3;
+    1 -- 4 -- 6;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_3.tex

@@ -47,17 +47,44 @@
 
 \begin{enumerate}[1.]
 
-    \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$
-        beschreibt einen Kreisgraph $C_n$.
+    \item 6 Farben
 
-        $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten
-        Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt.
+        \begin{itemize}
+            \item jede Farbe genau einmal neben einer anderen
+            \item keine gleichen Farben nebeneinander
+        \end{itemize}
 
-        In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl
-        $\chi(C_n) = 2$ hat.
+        man müsste 3 Hamiltonkreise finden mit disjunkten Kanten. Da aber $\forall v \in V$ gilt, dass $deg(v)= 5$ und
+        pro Hamiltonkreis zwei Kanten wegfallen, ist der letzte Pfad, nachdem zwei Hamiltonkreise abgelaufen wurden,
+        kein Kreis, sprich Startknoten $\neq$ Endknoten
 
-        Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben,
-        Knoten die selbe Farbe haben $n/2$
+        $\Rightarrow$ Mindestens eine Farbkombination wird nicht erreicht
+
+        $\Rightarrow$ nicht möglich mit 6 Farben
+
+    \item Ungerade Anzahl Farben $\geq 3$.
+
+        \begin{itemize}
+            \item zeichne vollständigen Graphen (Knoten $\widehat{=}$ Farben)
+            \item wähle beliebigen Startknoten und finde Kamiltonkreise, solange bis kein Hamiltonkreis mehr gefunden
+                werden kann
+            \item aktualisiere dabei den Graphen, indem die vom Hamiltonkreis genutzten Kanten aus dem Graph entfernt
+                werden
+            \item falls keine Kante mehr vorhanden (und auch kein Hamiltonkreis mehr), dann sind die gefundenen
+                Hamiltonkreise eine mögliche Lösung des Problems.
+        \end{itemize}
+
+    % \item Platten $\widehat{=}$ Knoten, Fugen $\widehat{=}$ Kanten. Jeder Knoten hat genau 2 Nachbarn, der Graph $G$
+    %     beschreibt einen Kreisgraph $C_n$.
+
+    %     $G$ soll ein Rechteck eingrenzen. Sei $x$ die Höhe und $y$ die Breite des Rechtecks (gemessen in benötigten
+    %     Platten). $G$ besteht aus $2*x + 2*y - 2$ Knoten (Platten), was immer eine gerade Zahl ergibt.
+
+    %     In der Vorlesung wurde besprochen, dass jeder Kreisgraph $C_n$ mit einem geraden $n$ eine chromatische Zahl
+    %     $\chi(C_n) = 2$ hat.
+
+    %     Da jede Farbe jede andere Farbe genau einmal Nachbar jeder anderen Farbe sein soll, müssen bei $n$ Farben,
+    %     Knoten die selbe Farbe haben $n/2$
 
 \end{enumerate}
 

school/di-ma/uebung/08/08_4.tex

@@ -0,0 +1,114 @@
+\documentclass[12pt,a4paper,german]{article}
+\usepackage{url}
+%\usepackage{graphics}
+\usepackage{times}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{ngerman}
+\usepackage{float}
+\usepackage{diagbox}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{geometry}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{epsfig}
+\usepackage{paralist}
+\usepackage{tikz}
+\geometry{left=2.0cm,textwidth=17cm,top=3.5cm,textheight=23cm}
+
+%%%%%%%%%% Fill out the the definitions %%%%%%%%%
+\def \name {Valentin Brandl}					%
+\def \matrikel {108018274494}				%
+\def \pname {Marvin Herrmann}				%
+\def \pmatrikel {108018265436}				%
+\def \gruppe {2 (Mi 10-12 Andre)}
+\def \qname {Pascal Brackmann}
+\def \qmatrikel {108017113834}				%
+\def \uebung {8}								%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+ % DO NOT MODIFY THIS HEADER
+\newcommand{\hwsol}{
+\vspace*{-2cm}
+\noindent \matrikel \quad \name \hfill \"Ubungsgruppe: \gruppe \\
+\noindent \pmatrikel \quad \pname \\
+\noindent \qmatrikel \quad \qname \\
+\begin{center}{\Large \bf L\"osung f\"ur \"Ubung \# \uebung}\end{center}
+}
+
+\begin{document}
+%Import header
+\hwsol
+
+\section*{Aufgabe 8.4}
+
+Abhängig, d.h. $v$ vor $u \Rightarrow O_v > O_u$ und $I_v < I_u$
+\\
+Unabhängig, d.h. $\begin{cases}
+    \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_1.png} \\
+    \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_3.png}
+\end{cases}$
+\\
+\\
+Beweis durch Widerspruch: $\mathbb{A}: v,u \in V$, $v$ und $u$ sind unabhängig
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Fall: $I_v < I_u$ aber $O_v > O_u$.
+
+        Da Einstiegspunkt von $v$ kleiner ist als $u$, wurde $v$ vor $u$ durchlaufen. Weil $v$ und $u$ unabhängig, gibt
+        es ein $x \in V$, das die beiden Äste vereint. Für diesen muss dann nach Definition der Tiefensuche gelten, dass
+        er vor $v$ und $u$ gefunden wurde ($I_x < I_v$ und $I_x < I_u$). Weiterhin gilt, dass $v$ vor $x$ vom Stack
+        gepopt wird, genauso wie $u$. Also $O_v < O_x$ und $O_u < O_x$
+
+        Insgesamt folgt somit nach Annahme
+
+        \begin{itemize}
+            \item $v$ vor $u$ durchlaufen
+            \item $x$ vor $v$ und $u$ durchlaufen
+            \item $v$ vor $x$ vom Stack gepopt
+            \item $u$ vor $x$ vom Stack gepopt
+            \item $u$ vor $v$ vom Stack gepopt
+        \end{itemize}
+
+        Somit bleibt nur die folgende Darstellung übrig, welche ein Widerspruch zur Unabhängigkeit ist.
+
+        \begin{figure}[h!]
+            \centering
+            \includegraphics[scale=0.3]{build/school/di-ma/uebung/08/08_4_2.png}
+        \end{figure}
+
+    \item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v < O_u$
+
+        $u$ wurde vor $v$ durchlaufen, aber $v$ wurde vor $u$ vom Stack gepopt.
+
+        Dies ist genau dann der Fall, wenn ein $v$ Nachfolger von $u$ ist (es liegt im Graphen tiefer). Das heißt, dass
+        $v$ und $u$ im gleichen Ast sind.
+
+        $\lightning$ zu Unabhängigkeit.
+
+\end{enumerate}
+
+\noindent
+$\mathbb{A}: v,u \in V$ und $v$ und $u$ sind abhängig
+
+\begin{enumerate}[1.]
+
+    \item Fall: $I_v < I_u$ und $O_v < O_u$
+
+        Da $v$ vor $u$ durchlaufen wurde und sie abhängig sind, müsste $u$ vor $v$ vom Stack genommen werden, nach
+        Definition der Tiefensuche, welches somit im Widerspruch zu $O_v < O_u$ steht.
+
+    \item Fall: $I_v > I_u$ und $O_v > O_u$
+
+        Dann wurde $u$ vor $v$ durchlaufen, allerdings wurde $u$ vor $v$ vom Stack gelöscht. Nach Definition der
+        Tiefensuche werden aber Knoten die in einem Ast liegen von unten nach oben vom Stack gepopt. Somit Widerspruch
+        zur Abhängigkeit
+
+\end{enumerate}
+
+\end{document}

school/di-ma/uebung/08/08_4_1.dot

@@ -0,0 +1,12 @@
+graph {
+    node [ shape=circle ];
+    0 [ label="" ];
+    1 [ label=""; shape=triangle ];
+    2 [ label=""; shape=triangle ];
+    u [ label="u" ];
+    v [ label="v" ];
+
+    0 -- 1 -- v;
+    0 -- 2 -- u;
+
+}

school/di-ma/uebung/08/08_4_2.dot

@@ -0,0 +1,4 @@
+graph {
+    node [ shape="circle" ];
+    x -- v -- u;
+}

school/di-ma/uebung/08/08_4_3.dot

@@ -0,0 +1,12 @@
+graph {
+    node [ shape=circle ];
+    0 [ label="" ];
+    1 [ label=""; shape=triangle ];
+    2 [ label=""; shape=triangle ];
+    u [ label="u" ];
+    v [ label="v" ];
+
+    0 -- 1 -- u;
+    0 -- 2 -- v;
+
+}