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title: Matching
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date: 2018-12-04
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**Beispiele**
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i) verschiedene Jobs und Bewerber $\widehat{=}$ Knoten. Kanten zwischen Job und
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Bewerber, falls Bewerber geeignet ist für Job.
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Ziel: Jedem Job einen Bewerber zuordnen
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i) Statt Jobs haben wir Rechentasks und statt Bewerbern haben wir Rechner.
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Kanten zwischen Task und Rechner falls Rechner die nötigen Ressourcen hat, um
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Task auszuführen
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i) Heiraten. Kanten zwischen Personen, falls sie sich heiraten wollen. Ziel:
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alle sollen heiraten
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**Bemerkung**: Fall i) und ii) entsprechen bipartiten Graphen.
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# Definition (Matching)
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Sei $G=(V,E)$ ein Graph und $M \subseteq E$
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i) $M$ heißt **Matching**, falls
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$$
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\forall e_1,e_2 \in M : e_1 \cap e_2 = \emptyset
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$$
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i) Ein Knoten $v \in V$ heißt überdeckt von $M$, falls $\exists e\in M:v\in e$
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i) Matching $M$ heißt perfekt, falls alle Knoten überdeckt sind, d.h.
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$|M|=\frac{|V|}{2}$. Wenn $|V| = 2y + 1$ ($|V|$ ist ungerade), gibt es kein
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perfektes Matching
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**Frage**: Kann man effizient maximale Matchings finden?
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Zumindest für bipartite Graphen, ja!
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# Notation
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Sei $G=(V,E)$ Graph und $X \subseteq V$. Dann sei
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$$
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\Gamma(X) = \bigcup\limits_{a\in X} \Gamma(a)
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$$
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# Satz (Hall, Heiratssatz)
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Sei $G=(A\biguplus B, E)$ ein bipartiter Graph. $G$ enthält ein Matching $M
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\subseteq E$ mit $|M| = |A|$, genau dann, wenn
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$$
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\forall X \subseteq A : |\Gamma(X)| \geq |X|
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$$
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## Bemerkung
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* Falls Bedingung erfüllt, folgt $|B| \geq |A|$, denn $\Gamma(A) \subseteq B$
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* Falls $|A| = |B|$, dann ist das Matching perfekt.
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## Beweis
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"$\Rightarrow$" sei $M$ ein Matching mit $|M| = |A|$ und $X \subseteq A$.
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Betrachten der Teilgraph $G'=(A\bigcup B, M)$. Dann gilt $| \Gamma(X) | = | X
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|$ in $G'$, da $M$ Matching und damit gilt $|\Gamma(X)| \geq |X|$ in $G$, da in
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$G$ nur neue Nachbarn hinzu kommen können.
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