96 lines
2.4 KiB
Markdown
96 lines
2.4 KiB
Markdown
---
|
|
title: Bäume
|
|
date: 2018-11-06
|
|
---
|
|
|
|
Bäume sollen zusammenhängende Graphen sein. Mit minimaler Anzahl von Kanten bei
|
|
gegebener Knotenmenge, d.h. $|E| = |V| - 1$. Solche Graphen können keine Kreise
|
|
enthalten.
|
|
|
|
# Definition (Baum, Wald, Blatt)
|
|
|
|
a) Ein **Baum** ist ein kreisfreier, zusammenhängender Graph
|
|
a) Ein **Wald** ist ein Grpah mit Zusammenhangskomponenten, die Bäume sind.
|
|
a) ein **Blatt** ist ein Knoten $u$ in einem Baum $T=(V,E)$ mit $deg(u) = 1$.
|
|
Knoten, die keine Blätter sind, heißen innere Knoten
|
|
|
|
$$
|
|
\tag*{$\Box$}
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
**Beispiel**
|
|
|
|
|
|
|
|
Ist ein Baum. Blätter $2,5,6$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# Lemma
|
|
|
|
a) Ein Baum mit mindestens 2 Knoten hat mindestens 2 Blätter.
|
|
|
|
a) In einem Baum gibt es zwischen je 2 Knoten genau einen Pfad.
|
|
|
|
a) Sei $T=(V,E)$ ein Baum, dann hat $T\setminus \{v\}$ für $v\in V$ genau
|
|
$deg(v)$ Zusammenhangskomponenten.
|
|
|
|
|
|
# Beweis (Lemma)
|
|
|
|
a) Da es mindestens 2 Konten $u,v$ gibt, gibt es auch mindestens 1 Kante
|
|
${u,v}$ mit $u,v \in V$. Gehe in jeder Richtung den Baum entlang, bis wir in
|
|
einer Sackgasse enden. diese beiden Endpunkte sind Blätter. Da es keine Kreise
|
|
gibt, muss die Sackgasse erreicht werden.
|
|
|
|
a) Gäbe es 2 Pfade, dann auch einen Kreis. Widerspruch zu "kreisfrei"
|
|
|
|
a) jetzt nicht
|
|
|
|
|
|
# Satz
|
|
|
|
Für jeden Baum $T = (V,E)$ gilt $|E| = |V| - 1$
|
|
|
|
# Beweis
|
|
|
|
Wir nehmen an, der Satz sei falsch. Sei $T_0 = (V_0, E_0)$ ein Gegenbeispiel
|
|
mit minimaler Anzahl von Knoten, d.h. es gilt $|E_0| \neq |V_0|-1$ und für alle
|
|
Bäume $T=(V,E)$ mit weniger als $|V_0|$ Knoten gilt $|E|=|V|-1$.
|
|
|
|
Es gilt sicher $|V_0| \geq 2$, dann gibt es in $T_0$ nach Lemma a) mindestens 2
|
|
Blätter $u, v$.
|
|
|
|
Betrachte $T' = T_0 \setminus \{u\}$. Da $u$ Blatt gilt $deg(u) = 1$ und laut
|
|
Lemma c) hat $T'$ $deg(u)=1$ viele Zusammenhangskomponenten, d.h. $T'$ ist
|
|
zusammenhängend und kreisfrei.
|
|
|
|
$\Rightarrow T'$ ist ein Baum mit $T' = (V',E')$ mit $V' = V\setminus \{u\}$,
|
|
$E' = E \setminus \{u, u'\}$, wobei $u'$ der (eindeutige) mit $u$ benachbarte
|
|
Knoten ist.
|
|
|
|
Da $|V'| \leq |V_0|$ gilt $|E'| = |V'| - 1$, damit $|E_0| - 1 = (|V_0| - 1) -1$
|
|
|
|
$\Rightarrow |E_0| = |V_0| - 1$. Widerspruch dazu, dass $T_0$ ein Gegenbeispiel
|
|
ist.
|
|
|
|
$$
|
|
\tag*{$\Box$}
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
# Definition (Spannbaum)
|
|
|
|
Sei $G=(V,E)$ ein Graph. Ein Spannbaum $T=(V',E')$ ist ein Teilgraph von $G$
|
|
mit
|
|
|
|
i) $T$ ist Baum
|
|
i) $V' = V$
|
|
|
|
|
|
# Satz (Existenz Spannbaum)
|
|
|
|
Ein Graph hat genau dann einen Spannbaum, falls $G$ zusammenhängend ist.
|