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|---|---|
| Kantenfärbung | 2018-12-04 |
Beispiel: n Teams \widehat{=} Knoten, m Partien zwischen je 2 Teams
\widehat{=} Kanten
Festlegen der Termine, an denen die SPiele stattfinden (Termine haben Nummern
1,...,k).
Frage: Wie viele Termine braucht man?
Bedingung: Kein Team kann an einem Termin 2 Spiele spielen
Definition (Kantenfärbung)
Sei G=(V,E) ein Graph.
i) Eine Kantenfärbung ist eine Abbildung
$$
c : E \rightarrow {1,...,k}
$$
mit der Eigenschaft
$$
\forall e,e' \in E, e \neq e' \land e \cap e' = \emptyset : c(e) \neq c(e')
i) Ein Graph heißt $k$-kantenfärbbar, falls es eine $k$-Kantenfärbung für $G$ gibt.
i) Der chromatische Index \chi'(G) ist definiert als
$$
\chi'(G) = \min {k \in \mathbb{N} \mid
G \text{ ist } k \text{-kantenfärbbar}}
Bemerkung: Es gilt \chi'(G) \geq \Delta(G) mit $\Delta(G) =
\max\limits_{v \in V} deg(v)$, da alle \Delta(G) Kanten eines Knotens v mit
deg(v) = \Delta(G) unterschiedliche Farben haben müssen.
Es gilt sogar:
Satz
Sei G=(V,E) Graph, dann gilt
\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1
ohne Beweis
\tag*{$\Box$}
Bemerkung: zu entscheiden, ob \chi'(G) = \Delta(G) oder
\chi'(G)=\Delta(G)+1 ist im Allgemeinen ein schweres Problem.