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title: Kantenfärbung
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date: 2018-12-04
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**Beispiel**: $n$ Teams $\widehat{=}$ Knoten, $m$ Partien zwischen je 2 Teams
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$\widehat{=} Kanten$
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Festlegen der Termine, an denen die SPiele stattfinden (Termine haben Nummern
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$1,...,k$).
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**Frage**: Wie viele Termine braucht man?
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**Bedingung**: Kein Team kann an einem Termin 2 Spiele spielen
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# Definition (Kantenfärbung)
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Sei $G=(V,E)$ ein Graph.
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i) Eine Kantenfärbung ist eine Abbildung
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$$
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c : E \rightarrow \{1,...,k\}
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$$
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mit der Eigenschaft
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$$
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\forall e,e' \in E, e \neq e' \land e \cap e' = \emptyset : c(e) \neq c(e')
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$$
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i) Ein Graph heißt $k$-kantenfärbbar, falls es eine $k$-Kantenfärbung für $G$
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gibt.
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i) Der **chromatische Index** $\chi'(G)$ ist definiert als
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$$
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\chi'(G) = \min \{k \in \mathbb{N} \mid
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G \text{ ist } k \text{-kantenfärbbar}\}
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$$
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**Bemerkung**: Es gilt $\chi'(G) \geq \Delta(G)$ mit $\Delta(G) =
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\max\limits_{v \in V} deg(v)$, da alle $\Delta(G)$ Kanten eines Knotens $v$ mit
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$deg(v) = \Delta(G)$ unterschiedliche Farben haben müssen.
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Es gilt sogar:
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# Satz
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Sei $G=(V,E)$ Graph, dann gilt
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\Delta(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1
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$$
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ohne Beweis
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\tag*{$\Box$}
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$$
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**Bemerkung**: zu entscheiden, ob $\chi'(G) = \Delta(G)$ oder
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$\chi'(G)=\Delta(G)+1$ ist im Allgemeinen ein schweres Problem.
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