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title: Kombinatorik
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date: 2018-10-09
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# Kombinatorik
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## Elementare Zählprobleme und Grundlegende Regeln
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### Beispiel
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#### Gegeben
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- 3 elementige Menge $M = \{1, 2, 3\}$
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#### Frage
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Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Elemente azs M zu ziehen?
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#### Antwort
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It depends
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--- | geordnet | ungeordnet
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--- | --- | ---
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mit zurücklegen | A:<br>$(1,1),(1,2),(1,3)$<br>$(2,1),(2,2),(2,3)$<br>$(3,1),(3,2),(3,3)$ | D:<br>$\{1,1\},\{1,2\}\{1,2\}$<br>$\{2,2\},\{3,2\}$<br>$\{3,3\}$
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ohne zurücklegen | B:<br>$(1,2),(1,3)$<br>$(2,1),(2,3)$<br>$(3,1),(3,2)$ | C:<br>$\{1,2\},\{1,3\}$<br>$\{2,3\}$<br>
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Wie viele Möglichkeiten gibt es allgemein, aus einer $n$-elementingen Menge $k$ elemente zu ziehen?
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## *Zuerst:* Einfache Grundregeln
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### Summenregel
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Seien $S$, $T$ endliche Mengen, disjunkt, d.h. $S \cap T = \emptyset$ (Notation $S \dot\cup T$, disjunkte Vereinigung),
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dann gilt
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$$
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| S \dot\cup T | = | S | + | T |
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$$
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Allgemeiner: Gegeben $S_1, S_2, ... S_n$, endliche, disjunkte Mengen, dann gilt
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$$
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| \dot\cup^n_{i=1} S_i | = | S_1 | + | S_2 | + ... + | S_n | = \sum\limits^n_{i=1} | S_i |
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$$
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### Produktregel
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Seien $S$, $T$ endliche Mengen, dann gilt
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$$
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| S \times T | = | S | \cdot | T |
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$$
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wobei
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$$
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S \times T = \{(s,t) \mid s \in S, t \in T \}
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$$
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Allgemeiner: Gegeben $S_1, S_2, ... S_n$ endliche Mengen, dann gilt
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$$
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\vert S_1 \times S_2 \times ... S_n \vert = \vert S_1 \vert \cdot \vert S_2 \vert \cdot ... \vert S_n \vert
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$$
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#### Beispiel
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$$
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S_1, ..., S_n = \{0, 1\}, n = 64 \\
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\vert S^n \vert = \vert \{0,1\}^{64} \vert = 2^{64}
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$$
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Anzahl der Zustände eines 64-bit Registers.
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### Gleichheitsregel
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Seien $S$, $T$ endliche Mengen und $f: S \to T$ eine bijektive Abbildung, dann gilt
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$$
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\vert S \vert = \vert T \vert
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$$
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(eigentlich: Definition von "gleich groß")
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Allgemeiner: Seien $S$, $T$ endliche Mengen und $f: S \to T$ eine $k$ auf $1$ Abbildung, d.h. $\forall t \in T$ gilt
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$\vert\{s \in S \mid f(s) = t \}\vert = \vert f^{-1}(t) \vert = k$ dann gilt
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$$
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\vert S \vert = k \cdot \vert T \vert
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$$
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Damit können wir nun die Fälle A - D untersuchen.
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### Fall A
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In Fall A zählen wir $k$-Tupel mit Komponenten aus der $n$-elementigen Menge $M$, d.h. Elemente aus
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$M \times M \times ... M = M^k$
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Aus der Produktregel folgt: Es gibt $\vert M \vert^k = n^k$ Möglichkeiten
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#### Satz
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Die Anzahl der $k$-Tupel mit Komponenten aus einer $n$-elementigen Menge ist
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$$
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n^k\\
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\Box
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$$
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### Fall B
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Wir ziehen aus einer $n$-elementigen Menge ohne zurücklegen
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- Für die erste Komponente haben wir $n$ Möglichkeiten
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- Für die zweite Komponente haben wir $n - 1$ Möglichkeiten
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- usw.
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D.h. insgesamt haben wir $n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n^{\underline{k}}$ Möglichkeiten ($k$-te absteigende Faktorielle).
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#### Satz
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Die Anzahl der $k$-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten aus einer $n$-elementigen Menge ist
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$$
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n^{\underline{k}} = n\cdot(n-1)\cdot...\cdot(n-k+1)
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$$
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**Wichtiger Spezialfall**:
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$$
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n = k
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$$
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Dann ist das nichts anderes als die Anzahl der Permutationen von $n$ Elementen
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##### Beispiel
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$$
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n = 3 \\
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M = \{1,2,3\}
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$$
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Mögliche Permutationen: $(123), (132), (213), (231), (312), (321)$
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$3! = 3\cdot2\cdot1$ Möglichkeiten
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$n! = n\cdot(n-1)\cdot...\cdot2\cdot1$ Möglichkeiten
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**Bemerkung:** Es gilt
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$$
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n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!}
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$$
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### Fall C
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Wir zählen die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge.
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Von fall B zu Fall c durch ignorieren der Reihenfolge.
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Beachte die Abbildung die einem $k$-Tupel mit paarweise verschiedenen Komponenten $(i_1, ..., i_k)$ die $k$-elementige
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Teilmenge $\{i_1, ..., i_k\}$ zuordnet. Diese Abbildung ist $k!$ - auf $-1$ da jede $k$-elementige Teilmenge auf $k!$
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Arten angeordnet werden kann.
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Damit folgt (Gleichheitsregel)
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#### Satz
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Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge ist
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$$
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\binom{n}{k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
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$$
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$\binom{n}{k}$ ist der Binomialkoeffizient.
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##### Beispiel
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$$
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n = 3, k = 2 \\
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\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3\cdot2}{2} = 3
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$$
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### Fall D
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Hier zählen wir Multimengen. In einer Multimenge können Elemente mehrfach vorkommen, mit Vielfachheit.
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In $k$-elementigen Multimengen addieren sich die Vielfachkeiten zu $k$.
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Wir wollen die Gleichheitsregel anwenden. Dazu folgende Kodierung einer Multimenge:
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- Zwei Symbole `*` und `|`
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- Wir schreiben $t$ Sterne `*` falls ein Element $i$ Vielfachkeit $t$ hat
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- Übergang von $i$ zu $i-1$ wird gekennzeichnet durch `|`
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#### Beispiel 1
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$M = \{1,2,3,4,5\}$ und Multimenge $S = \{1,1,1,3,3,4,4,4\}$ wird kodiert als
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```
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*** | | ** | *** |
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```
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#### Beispiel 2
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$T = \{1,1,5,5\}$ wird kodiert als
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```
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** | | | | **
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```
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Jede $k$-elementige Multimenge einer $n$-elementigen Menge entspricht eindeutig einer Sequenz aus $k$ `*` Symbolen und
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$n-1$ `|` Symbolen.
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Jede Sequenz von $k$ `*` Symbolen und $n-1$ `|` Symbolen entspricht genau einer $k$-elementigen Multimenge.
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Abbildung Multimenge $\to$ Kodierungssequenz ist bijektiv.
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Wegen der Gleichheitsregel können wir also genausogut die Anzahl der möglichen Kodierungssequenzen zählen.
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Kodierungssequenz hat die Länge $(n-1)+k$ und an $k$ Stellen steht ein `*`. Dann gibt es genau $\binom{n-1+k}{k}$
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solcher Sequenzen.
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#### Satz
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Die Anzahl der $k$-elementigen Multimengen einer $n$-elementigen Menge ist
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$$
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\binom{n-1+k}{k}
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$$
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##### Beispiel
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25 Eissorten. Wie viele mögliche Eisbecher mit 5 Kugeln gibt es?
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**Antwort**:
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$$
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n = 25, k = 5 \\
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\binom{25-1+5}{5} = \binom{29}{5} = 118755
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$$
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